Algèbre et ensembles

Bonjour,

J'ai un exercice d'algèbre que je n'arrive pas à faire, et un peu d'aide serait la bienvenue.

Voici l'énoncé : Soit E, un ensemble et A,B, 2 parties de E
On note ⊂ la relation d'inclusion dans l'ensemble P(E) des parties de E.
On considère dans P(E) l'équation d'inconnue X : (*) A ∪ X = B

Démontrer que (*) admet au moins une solution ssi A est inclus dans B.
Résoudre (*) dans le cas où A est inclus dans B.
En déduire que l'application Fa : P(E)→P(E)
X → A ∪ X est bijective pour une seule partie A de E que l'on précisera.

Alors pour le 1), je voulais faire une démo par équivalence, mais je suis bloqué au niveau de la réciproque.
Pour le 2), j'ai dit que si A ⊂ B, alors A∪B = B, donc on peut en déduire que X avec B, mais je ne suis pas sûr que ce soit très correct.
Quand au 3), je ne sais pas du tout par où commencer.

Quelqu'un pourrait il m'expliquer ou me donner des pistes.
Merci d'avance à Tous.

Bonjour,
Pour la question 1, je suppose que tu sais faire la partie :
si A ⊂ B alors A∪X = B admet une solution , en fournissant cette solution.
Pour la réciproque, il est plus simple de supposer que A ⊄B , et de démontrer que dans ce cas il n'y a pas de solution.

Mais je me pose quand même une question : si A ⊂ B, je vois plusieurs solutions et non une seule ?!

A quoi sert C ?

Pardon, j'ai oublié d'enlever C de l'énoncé, il fallait l'utiliser pour une démo dans la question précédente de mon exo, mais l'énoncé stipule que les 2 parties de l'exo sont indépendantes, donc il ne faut pas utiliser cette démo.

Et je me suis trompé en recopiant l'énoncé : c'est " admet au moins une solution ssi A ⊂ B ".

Je vais le modifier, désolé.

Pour le 1), j'ai posé :

A,B 2 parties de E telles que A ∪ X = B.
Si x ∈ A, alors x ∈ A∪X
A∪X = B, donc x ∈ B
Conclusion : A ⊂ B

Je ne voie pas comment faire la réciproque de ça ....

Et merci de ton aide mathtous.

Ah, comme ça c'est mieux.
Sinon, tu peux utiliser mon conseil pour ta réciproque.

Désolé : je n'avais pas vu ton précédent message.
Tu as donc démontré :
si A∪X = B, alors A⊂B
Pour la réciproque, il me semble que tu l'as déjà fait :
si A⊂B, alors A∪B = B , donc X = B est une solution de l'équation : elle admet au moins une solution.

Ca marche de faire la réciproque en disant que :
on suppose A∉B
Si x ∈ A, alors x ∈ A∪X
Comme A∪X = B, x ∈ B
Or par hypothèse, A∉B donc pas de solution

On déduit donc que A ⊂ B.

Mais j'ai l'impression de faire la même chose que la 1ère partie de ma démo, en réalité là, je démontre par disjonctions des cas et non par équivalences ? Est ce quand même correct ?

Désolé, je n'avais pas vu le message où tu m'expliquais la réciproque

En fait, en disant que B est une solution de A ∪ X = B ssi A ⊂ B, je réponds à la question 2) non ?

C'est confus.
Je résume cette démonstration :
S'il existe X tel que A∪X = B :
soit x ∈A , alors x∈A∪X ( quel que soit X ) , donc x ∈B puisque A∪X = B
Donc x∈A ⇒ x∈B : c'est dire que A⊂B
( Attention aux grands et aux petits "x" ).
Je dois me déconnecter maintenant.
A+

Merci pour ton aide.
Si tu te reconnectes plus tard, j'aimerais bien que tu m'expliques un peu la question 3), que je ne comprends pas très bien, si cela ne te dérange pas bien sûr.

A+

$f_A$ est bijective si elle est surjective et injective.
a) surjection : soit B appartenant à l'ensemble d'arrivée : on cherche s'il existe X tel que $f_A$ (X) = B . Pour cela, B doit contenir A. Ce qui n'est vrai que si B = E, sauf si A = ∅. Ce qu'on doit donc supposer
b) injection : $f_∅$ (X) = X : c'est évidemment bijectif.

Donc fA est bijective pour une seule partie A de E = ∅ , c'est bien ça ?

Citation
une seule partie A de E = ∅Ce n'est pas clair : c'est A qui est vide, pas E.

Donc fA est bijective ssi A = ∅ si j'ai bien compris ?

Je pense que c'est ça.

eh bien, merci beaucoup pour ton aide mathtous.
A+.

De rien.
Je dois maintenant me déconnecter.
A+