Parties de R et borne supérieure

Bonjour à tous,
J'ai un exo. à faire en maths, et je dois avouer que je n'y comprend pas grand chose.
Le voici :

Soient A, B 2 parties non vides et majorées de R. On note :
A+B = ( x+y / x∈A et y∈B )
A.B = ( x.y / x∈A et y∈B )

Montrer que A∪B est une partie majorée de R et sup(A∪B)= max( sup(A); sup(B) ).

2)On suppose que A et B ne sont pas disjoints. Montrer que A∩B admet une borne supérieure et sup (A∩B) <= min ( sup(A) ; sup(B) ), et expliciter un exemple pour lequel l'inégalité est stricte.

3)Montrer que A+B est majorée et sup(A+B)= sup(A) + sup(B)

4)Donner un exemple pour lequel A.B n'est pas majoré.

Démontrer que si A et B sont des parties non vides majorées de R+ alors A.B est majoré par : sup (A.B) = sup(A) . sup(B).

Quelques indications seraient les bienvenue pour m'aider à comprendre et à démarrer.
Merci d'avance à tous.

Bonjour,
Pour l'égalité, tu peux montrer deux inégalités ( au sens large ) dans les deux sens.
Dans le sens ≤ , tu démontres en passant que A∪B est majorée.
Commence par préciser que toutes ces parties étant non vides et majorées, les sup existent ( propriété fondamentale de R ).
Ainsi , si x ∈A∪B , alors ... ... x ≤ sup(A) ou x ≤ sup(B)
D'où la première inégalité.

Bonjour,
Comment déduire que sup(A∪B) équivaut à x ≤ sup(A) ou x ≤ sup(B), à cause du fait que x appartient à l'union entre A et B ?

si x ∈A∪B , alors :
ou bien x∈ A auquel cas x ≤ sup(A) ,
ou bien x ∈ B auquel cas x ≤ sup(B)
Donc : ou x ≤ sup(A) ou x ≤ sup(B)
Donc : x ≤ au plus grand des deux : x ≤ max( sup(A); sup(B) )
Ceci étant vrai pour tout x de A∪B, A∪B est majoré et donc admet une borne supérieure vérifiant sup(A∪B) ≤ max( sup(A); sup(B) ).

Essaie quand même de faire seul la réciproque.