Les vecteurs dans l'espace.

Bonsoir à tous,

Je viens sur ce forum car je bloque pour mon devoir à la maison, et j'aimerais avoir votre aide pour pouvoir avancer (je dois rendre mon devoir vendredi).

Voici l'énoncé,

SABCD est une pyramide, dont la base ABCD est un parallélogramme de centre O.
M est le milieu de [SB] et G le centre de gravité du triangle ACS.
Le but de l'exercice est de montrer, de deux manières différentes, les points D, G et M sont alignés.

1ère méthode : Raisonnement purement géométrique.

Exprimer le vecteur SG en fonction du vecteur SO.
b)En se plaçant dans le triangle SDB, démontrer l'alignement des points voulu.

2ème méthode : Avec un repère.

1.a) En utilisant la relation de Chasles à deux reprises, exprimer vecteur SO en fonction de vecteur SA et SC.
b) Que peut-on alors dire des vecteurs SO, SA, et SA ?
2.a) A l'aide de la règle du parallélogramme exprimer vecteur AD en fonction de vecteur AC et AB.
b) A l'aide de la question 2.a) et de la relation de Chasles appliquée à trois reprises, exprimer vecteur SD en fonction de vecteur SA, SB et SC.
3. On se place maintenant dans le repère (S; SA; SB;SC)
a) Déterminer les coordonnées de tous les points dans ce repère.
b) Monter alors l'alignement de points souhaité.

Alors voilà, je pense avoir réussi la 1ère méthode, mais après je bloque complétement.

1ère méthode :

G est le centre de gravité du triangle ACS.
(SO) est une médiane du triangle ACS; donc G est sur [SO].
D'après le théorème des médianes, le centre de gravité se trouve aux 2/3 de chaque médiane en partant du somment.
Ici, vecteur SG = 2/3 de vecteur SO
(SO) est aussi une médiane du triangle SDB. On sait que vecteur SG = 2/3 de vecteur SO, donc G est aussi le centre de gravité du triangle SDB, c'est-à-dire des trois médianes de ce triangle. O est le milieu de (DB).
Or, (DM) est aussi un médiane du triangle SBD.
Donc G est sur la droite (DM), ce qui veut dire que les points D, G et M sont alignés.

Voilà ma 1ère partie, j'espère quelle est juste...

Merci d'avance de bien vouloir m'aider pour la 2ème méthode.

Personne ne veut m'aider ?!

Pouvez-vous m'aider ?!

Votre aide me serait vraiment très utile !! S'il vous plait !

Pouvez-vous au moins m'aider pour la question 1.b) dans la 2ème méthode !!
S'il vous plait !!

Merci d'avance pour votre aide!!

Bonjour dani,

Ta première méthode me semble correcte.

Citation
2ème méthode : Avec un repère.

1.a) En utilisant la relation de Chasles à deux reprises, exprimer vecteur SO en fonction de vecteur SA et SC.
SO = SC + CO
= SC + (1/2)CA
= SC + (1/2)(CS + SA)
= SC - (1/2)SC + (1/2)SA
SO = (1/2) SA + (1/2) SC

Citation
b) Que peut-on alors dire des vecteurs SO, SA, et SC ?
Ces trois vecteurs sont coplanaires. Je ne sais pas si on peut quelque chose de plus . . .

Citation
2.a) A l'aide de la règle du parallélogramme exprimer vecteur AD en fonction de vecteur AC et AB
AD = AB + AD

AD = AC - AB

Citation
b) A l'aide de la question 2.a) et de la relation de Chasles appliquée à trois reprises, exprimer vecteur SD en fonction de vecteur SA, SB et SC.
SD = SA + AD
= SA + (AC – AB) car AD = AC – AB question 2a)
= SA + (AS + SC) – (AS + SB)

SD = SA - SB + SC

Citation
3. On se place maintenant dans le repère (S; SA; SB;SC)
a) Déterminer les coordonnées de tous les points dans ce repère.

S, A, B, C c’est facile

Pour O, utilise : SO = (1/2) SA + (1/2) SC

Pour D, utilise : SD = SA - SB + SC

Pour G, utilise SG = 2/3 SO et remplace SO par SO = (1/2) SA + (1/2) SC

Pour M, utilise les coordonnées du milieu (M milieu de [SB]

Citation
b) Monter alors l'alignement de points souhaité.

Tu peux par ex montrer que les vecteurs DG et DM sont colinéaires.
Tu calcules les coordonnées des deux vecteurs puis tu montres qu’elles sont proportionnelles

De mon coté, j’obtiens DG = (2/3) DM

Pour la 1.a)
Moi j'ai trouvé...

SO = SA + AO
SO = SA + OC
SO = SA + OS + SC
SO = SA + SC + OS
SO = sa = sc - SO
SO + SO = SA + SC
2 SO = SA + SC
SO = SA/2 + SC/2

Est- ce juste ?

Tu remplaces AO par OC. C'est correct.

C'est une autre solution.

Merci beaucoup !
Et dans le question 1.b) il faut peut-être que je rappelle la définition de coplanaire, non ?

Et... je n'ai pas compris comment on faisait pour trouver les coordonnées de D, et G !

Pouvez-vous m'expliquer de nouveau?

Merci d'avance...

Pour O
SO = (1/2) SA + 0 SB + (1/2) SC

donc dans le repère (S; SA; SB;SC)

O(1/2 ; 0 ; 1/2)

Pour D
SD = SA - SB + SC

on a donc directement et tout simplement D(1 ; -1 ; 1)

Pour G
SG = 2/3 SO = 2/3 [(1/2) SA + (1/2) SC] = 1/3 SA + 0 SB + 1/3 SC

d'où G( .....)

Si tu as bon à toutes les coordonnées, tu retombes sur DG = (2/3) DM
(G étant aussi le centre de gravité de DSB)