Caractérisation d'une bijection

Bonjour à tous,

J'ai un exo à faire, mais que j'ai le beau prendre dans tous les sens, je ne voie pas comment le résoudre. Des pistes seraient les bienvenues. Le voici :

Soient E et F 2 ensembles et f une application de E vers F. On note P(E) l'ensemble des parties de E.
Démontrer que f est une bijection ⇔ ∀ A ∈ P(E), f(A barre ) = barre de f(A) où A est un élément de E, A barre est le complémentaire de A et f(A) = f(x) / x ∈ A.

Merci d'avance pour votre aide.

Bonjour,
Tu dois montrer une équivalence. Tu peux procéder en deux parties :
A) Si f est une bijection , alors f(A_barre) = [f(A)]_barre
B) La réciproque.

Pour la partie A, tu dois démontrer l'égalité de deux ensembles , et pour cela tu peux établir deux inclusions réciproques :

f(A_barre) ⊂ [f(A)]_barre
[f(A)]_barre ⊂ f(A_barre)

Je te conseille de commencer par envisager les deux cas particuliers où A = ∅ et où A = E : les égalités peuvent s'établir directement ( 1 et 2 ensemble ).