Quelques questions sur les suites géométriques (1ère ES)

[Someone]

Bonjour à tous!

Voilà, je dois rendre un Devoir Maison de maths pour la rentrée sur les suites. J'ai étudié les suites arithmétiques (qui sont pas faciles mais bon ça va je me débrouille) et les suites géométriques où j'ai vraiment du mal...

Le devoir maison est divisé en 2 exercices.
Je vous mets ici tout le devoir maison en précisant les questions où je bloque.

-Exercice 1 : Marché des Télécommunications

Partie A : Etude d'une suite

On considère la suite (Un) définie par $U_0$ =900 et, pour tout entier naturel n, $U_{n+1}$ =0,$6U_n$ +200 (1)

1)Calculez $U_1$ et $U_2$

Bon, là c'est assez facile et j'ai trouvé $U_1$ =740 et $U_2$ =644 (Je vous épargne le détail des calculs)

2. ON considère la suite (Vn) définie pour tout entier naturel n, par Vn= Un-500 (2)

-a)Calculez $V_0$ , $V_1$ et $V_2$

Ici j'ai trouvé $V_0$ =400, $V_1$ =240 et $V_2$ =144

-b)Exprimez Vn+1en fonction de $U_{n+1}$, puis à l'aide de la formule (1), $V_{n+1}$en fonction de Un

Ici, j'ai fait : $V_{n+1}$ = $U_{n+1}$-500
$V_{n+1}$ = 0,$6U_n$+200-500
${}_{n+1}$ = 0,$6U_n$-300

-c) Démontrez que la suite (Vn) est une suite géométrique dont vous donnerez le premier terme et la raison.

Alors là... Je sais pas du tout comment on fait... Donc si vous pouvez m'aider...

-d)Exprmiez Vn en fonction de n. En déduire que : Un = 400*(0,6)n+500

Là non plus je n'ai pas la moindre idée de comment faire.. Et puis d'abord il sort d'où le 400 de V0? Mais pourquoi?

-e)Montrez que la suite (Un) est décroissante.

Heu... je crois qu'il faut faire la méthode de $U_{n+1}$ - Un, non? Si c'est ça, ça donnera quoi le calcul?

Partie B : Application économique

Dans un pays, 2 sociétés A et B se partagent le marché des télécommunications. Les clients souscrivent, le 1er Janvier, soit auprès de A, soit aurpsè de B, un contrat d'un an au terme duquel, ils sont libres à nouveau de choisir A ou B. L'année 2000, la société A détient 90% du marché et la société B, qui vient de se lancer 10%. On estime que, chaque année, 20% de la clientèle de A change pour B, et de même 20% de la clientèle de B change pour A.
On considère une population représentative de 1000 clients de l'année 2000. Ainsi, 900 sont clients de la société A et 100 sont clients de la société B.
On veut vérifier l'évolution de cette population les années suivantes.

1. a)Vérifiez que la société A compte 740 clients en 2001. Calculez le nombre de clietns de A en 2002.

Ici, j'ai réussi à montrer qu'en 2001 il y a 740 clients de A et j'ai trouvé qu'en 2002 il y en a 644.

b) On note an le nombre de clients de A l'année (2000+n). Etablissez que $a_{n+1}$ = 0,$6a_n$+200.

Comment le on montre ça?

c)Exprimez an en fonction de n.

Là encore je ne sais pas comment faire...

2. a) Montrez que, quelque soit l'entier n, $a_n$>500.
   b) Montrez que, quelque soit l'entier n>10, on a $a_n$<502.
   c) Ue peut-on en déduire pour l'évolution du marché des télécommunications dans ce pays?

Pour ces trois questions, j'ai vraiment besoin d'aide!!

-Exercice 2 : Graphique et Récurence.

On considère la suite Un définie par récurrence de la manière suivante : $U_0$=10 et $U_{n+1}$=3/5Un

1. Calculez $U_1$, $U_2$ et $U_3$

Bon ça c'est pas bien compliqué, c'est toujours la même chose.

2)Expliquez pourquoi sur le graphique ci-dessous, les abscisses des points $A_1$, $A_2$ et $A_3$ sont respectivement $U_1$, $U_2$ et $U_3$.

C'est la dernière question et je n'arrive pas à la faire non plus.
Voilà le graphique dont il est question dans le dernier exo :

[Zauctore]

Pour 2b)
Simplement
$V_{n+1}$ = 0,6 U ${}_n$ - 300 = 0,6 (U ${}_n$ - 500) = 0,6 V ${}_n$ .
La suite est donc géométrique de raison 0,6.

Avec (de façon générale)
$g_{n+1}$ = q $g_n$,
le cours t'enseigne que
$g_n$ = $q^n$ $g_0$
voici qui fournit l'expression du terme général en fonction de n.