Suite(Limite et recurrence)

[souljaboy34]

Bonsoir ,

j ai difficulté de definir la Limite d une suite voila L exercice et meme recurrence >_<
Uo=1 Un+1= (Un-2) / (5-2Un)

1. Montrer par recurrence que Un<2 pour tout n appartient N (deja fait)
   2)Montrer par recurrence que 1- racine 2 < Un
   3)Montrer que Un est decroissante (deja fait)
   4)en deduire que Un est convergente (deja fait)
2. calculer la lim Un
   x->+oo
   Merci d avance j ai des difficultés en question 2 et 5
   ca sera sympa si quelqu un me dire comment j dois faire?

[Iron]

Bonjour souljaboy,

2. Pour l'hérédité, tu peux partir d'un encadrement de Un en utilisant la question 1)

Ton hypothèse est donc :
1-√2 < Un < 2

D'une part, tu encadres Un - 2
D'une autre part, tu encadres 5 - 2Un

ce qui te conduit à :

(plus petite valeur de Un - 2)/(plus grande valeur de 5 - 2Un) < $U_{n+1}$ < (plus grande de Un - 2)/(plus petite valeur de 5 - 2Un)

qui devrait faire ton bonheur ...

5. Limite

Tu as montré que (Un) converge, soit l sa limite finie.

alors

lim Un = l
n → +∞

Mais on a aussi

lim $U_{n+1}$ = l
n → +∞

Or Un+1 = f(Un) avec f(x) = (x-2)/(5-2x)

Au voisinage de l'∞, on a donc f(l) = l

Autrement dit, si (Un) converge, alors elle converge vers le point fixe de f, cad vers le réel l tel f(l)=l

à résoudre bien sûr.

[souljaboy34]

Limite :s que j arrive pas a resoudre
est ce que j dois faire F(x)=x ? la solution que j v trouver egale a la limite?
c est ca non? si c le cas j ai trouvé 2solutions 1-racine , et 1+racine2
(a l aide de delta)

[Iron]

souljaboy34
Limite :s que j arrive pas a resoudre
est ce que j dois faire F(x)=x ? la solution que j v trouver egale a la limite?
c est ca non? si c le cas j ai trouvé 2solutions 1-racine , et 1+racine2
(a l aide de delta)

Oui, c'est cela. f(x) = x a deux solutions dont l'une sera à rejeter car 1-√2 < Un < 2

(Un) peut-elle tendre vers 1+√2 ?

La solution valable correspondra à la limite de (Un). Vérifie à la calculette que (Un) converge bien vers cette valeur.

[souljaboy34]

1-racine2 sera la solution car Un est decroissante n est ce pas?

[Iron]

Oui

(Un) est décroissante, U0=1, elle est minorée par 1-√2 et elle converge vers un point fixe de f.

La solution 1+√2 de f(x)=x est rejetée (1+√2 > U0)
(Un) converge vers 1-√2 (la seconde solution de f(x)=x )

[souljaboy34]

Merci !