problème suite et intégrales prépa ECS 1

Bonjour, voici un problème qui me pose problème... Je suis élève en prépa économique et je suis dans les derniers en maths. Pour m'entraîner j'ai récupéré auprès de mon prof des vieux sujets dont celui-ci sur lequel je bloque totalement.
Ce que je recherche c'est de l'aide et non pas que l'on me fasse tout le travail, je veux comprendre!

Voici l'énoncé qui est très long:
On se propose d'étudier

$lim⁡n→+∞∑p=1n,up\lim_{n\to+\infty} \sum_{p=1}^n , u_p$
avec
$un=∫0π/2,xsin⁡(nx)cos⁡n(x)dxu_n = \int_0^{\pi/2} , x \sin(nx) \cos^n(x) \text{d}x$
On pose à cet effet sn= somme de k=1 à n des 1/k et on admet Sn éuivalent à ln n

Partie 1:

On définit fn sur ]0,1] avec fn(t)=(1-(1-t)^n)/t) et fn(0)=n

1a Montrer que fn continue sur [0,1]

b montrer que fn(t)= ∑ (de p allant de 1 à n) de (p parmi n).(-t)^(p-1)

c On pose In= ∫ (de 0 à 1) de fn(t)dt
prouver que In= ∑ (de p=1 à n) de (p parmi n).(-1)^(p-1)/p
puis calculer ∫ (de 0 à 1) de (1-t)^(k-1) et montrer que In=Sn

2a montrer que ∫ (de 0 à pi/2) de (xsin(2px))dx = (pi.(-1)^(p+1))/4p

b en remarquant que sin(2px)=Im(e^(i2px) montrer ∑ (de p=1 à n) de (p parmi n).sin(2px)=2^n.sin(nx).cos^n(x)
en déduire un =(pi/(2^(n+2))).Sn

Voila j'ai tout fait jusqu'ici sauf la 2b que je réessaie de faire par intégration par parties mais je veux bien un peu d'aide...

Partie 2:

Soit f(x)=-ln(1-x) définie sur [0,1[

1 Etudier les variations de phi(t)=(x-t)/(1-t) ( t appartient à [0,x])
et montrer que 0 inférieur à phi inférieur à x

2 Montrer que phi/(1-t)=(x-1)/(1-t)^2 + 1/(1-t)

Jusque la la partie 2 c'est bon pour moi.

3 Montrer que f(x)= ∑ (de 1 à n) de ((x^(k))/k) + Rn(x) (Rn(x) n'est pas dans la somme) avec Rn(x)= ∫ (de 0 à x) de ((phi(t))^n)/(1-t)
A mon avis on procède par récurrence? mais je bloque encore une fois dans les calculs...

4 En déduire de la question 2 partie 2 que 0 ≤ à Rn(x) ≤ -x^(n).ln(1-x)

5 a exprimer (1-x).∑ (Sk.(x^k)) ( somme pour k de 1 à n) en fonction de f(x) Rn(x), Sn et x
b En déduire lim ∑ (de k=1 à n) de Sk.(x^k) puis lim ∑ (de p=1 à n) des up

Voila encore une fois je veux surtout comprendre, merci d'avance pour le temps que vous me consacrerez.

C'est surtout la partie 2 qui me bloque

En fait j'ai pas réussi la 2b je bloque et pour la partie 2 je suis toujours coincé au même endroit...

En fait pour la partie 2 j'ai fait la 1 je m'étais trompé dans le calcul de dérivée mais j'aimerais vraiment de l'aide pour la suite et pour la 2b de la partie 1

J'ai encore avancé et j'ai réussi la 2 de la partie 2
Mais j'ai besoin d'aide pour la 3,4 et 5 et pour la 2b de la partie 1

Edit la 2b c'est bon j'ai fait