limites et encadrement

Bonjour, j'ai un petit exercice que je n'arrive pas à résoudre, pourriez vous m'aider ??
Voici l'énoncer :

On veut trouver la limite en +oo de f(x)= ( (racine de 1+x²) / x )
1°) Montrer que pour x>0, x²<1+x²< (1+x)²
2°) En déduire pour x>0 un encadrement de f(x)
3°) En déduire la limite de f en +oo

Bonjour,
Pour la question 1, l'inégalité x² < 1+x² est évidente
Pour la seconde : développe (1+x)²

mais comment montrer cette inégalité ?

Citation
développe (1+x)²Utilise (a+b)²

oui et j'ai trouvé x²+2x+1

Bon, Il est bien précisé que x est positif, donc
x²+2x+1 > x² + 1 puisqu'il y a 2x ( positif ) en plus.

Pour la question 2, tu sais que des nombres positifs sont rangés dans le même ordre que leurs racines carrées.

à vrai dire je suis un peu perdue... cet exercice est vraiment compliqué je trouve ^^

Non.
x² < x² + 1 puisqu'il y a 1 en plus
x² + 1 < x² + 2x + 1 comme on vient de le voir,
donc x²+1 < (x+1)² qui est égal à x² + 2x + 1

Est-ce que tu comprends déjà cela ?

oui je comprends mieux

Donc, en regroupant, on obtient la chaîne d'inégalités :
x² < x² + 1 < (x + 1)²
Ensuite, comme tous les nombres sont positifs, leurs racines carrées sont rangées dans le même ordre :
je te montre sur un exemple :
4 < 9 < 25
Donc √4 < √9 < √25
ce qui donne : 2 < 3 < 5 ( ce qui est bien vrai ).

On fait la même chose :
x² < x² + 1 < (x + 1)²
donc √(x²) < √( x²+1 ) < √ (1 + x)²
Continue : prends correctement les racines carrées.

18,10 < 18,13 < 19,10 ??

D'où viennent ces valeurs ? Tu as perdu les "x" ?
Tu dois savoir que √(x²) = x pour x positif
Et que vaut √(1 + x )² ?

V(1+x)² sera aussi positif pour tout x

Oui, mais à quoi est-ce égal ?
à x ?
à x+1 ?
à (x+1)² ?
à x² +1 ?
Une seule réponse est correcte. Ne réponds pas au hasard : réfléchis, regarde ce que j'ai dit avant.

V(1+x)²= x+1

Exact
Donc je reprends :
x² < x² + 1 < (x + 1)²
donc √(x²) < √( x²+1 ) < √ (1 + x)²
donc x < √( x²+1 ) < 1 + x
x étant positif et non nul, tu peux tout diviser par x : à toi.

x/x < V(1+x)² /x < (1+x)/x

Attention : le terme du milieu est faux : c'est √(1+x²) / x et non pas √(1+x)² / x. Ce n'est pas la même chose. Ainsi, si x vaut 4:
√(1+x²) / x = √17 / 4
mais √(1+x)² / x = √25 / 4 = 5/4

Que vaut x/x ?
Que représente √(1+x²) / x ( relis l'énoncé ).