Somme des x^q, avec q réel et x variant entre 0 et n
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CChristopheG dernière édition par
Bonjour,
Tout est dans le titre ou presque ! Je cherche la somme des xqx^qxq avec x variant entre 0 et n-1 (q est constant) : s(n)=∑x=0n−1xqs(n)=\sum_{x=0}^{n-1} x^qs(n)=∑x=0n−1xq
Si on devait calculer l'intégrale de cette fonction, cela serait facile : ∫0n−1xqdx=[1q+1xq+1]0n−1=(n−1)q+1q+1\int_0^{n-1} x^q dx=[\frac{1}{q+1}x^{q+1}]_0^{n-1}=\frac{(n-1)^{q+1}}{q+1}∫0n−1xqdx=[q+11xq+1]0n−1=q+1(n−1)q+1
Mais pour une somme, je ne sais pas faire.
Quelqu'un sait ? Est-il possible de calculer la somme en passant par une primitive ?Christophe
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Zauctore dernière édition par
Bonjour
Cela consiste par exemple à calculer
Pour q = 1, la somme 1+2+3+⋯+n−11 + 2 + 3 + \cdots + n-11+2+3+⋯+n−1
Pour q = 2, la somme 12+22+32+⋯+(n−1)21^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + (n-1)^212+22+32+⋯+(n−1)2
Pour q = 3, la somme 13+23+33+⋯+(n−1)31^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + (n-1)^313+23+33+⋯+(n−1)3
etc.
On dispose de formules explicites pour les premières puissances (à support polynomial) - c'est par exemple au niveau de la classe de 1S qu'on peut les faire "découvrir". Je te laisse chercher dans les archives de ce niveau.
Pour le cas d'un exposant q entier fixé quelconque
1q+2q+3q+⋯+(n−1)q1^q + 2^q + 3^q + \cdots + (n-1)^q1q+2q+3q+⋯+(n−1)q
, c'est déjà plus corsé : interviennent les nombres de Bernoulli (cf wikipedia).