intégrale ECS1

Bonjour,
J'ai un problème avec des intégrales que j'ai commencé mais je n'arrive pas à le finir.
On définie phi(x) par intégrale de x à x+2 de f(t) dt
on étudie phi associée à une fonction f donnée.
on note C la représentation graphique de f et T celle de phi

Partie A:

on définie f(t)=(e^t)/((e^t)+1) - (1/2)

1 2tudier f et construire
Je trouve f croissante strictement, f impaire et lim en +infini=1/2 et lim en -infini=-1/2

2Etudier la convexité de f sur R et préciser la position de f par rapport à la tangente à C en 0.

Tout d'abord équation tangente=t/4 en 0
Ensuite, après étude de f'' j'ai f convexe sur - infini 0 et concave sur 0 + infini d'ou C en dessous de la tangenete en 0 sur ]-infini,0] et au dessus sur [0,+ infini[

jusque la je pense avoir bon

3 Calculer phi de x pour tout x réel et étudier la fonction phi:

J'ai posé F primitive de f sur R
D'ou F(t)=ln((e^t)+1))-t/2
D'ou phi(x)=F(x+2)-F(x)
et je trouve phi(x)=2 pour tout x et la j'ai surement fait une faute...

Etudier la fonction phi, on peut dire que phi'(x)=f(x+2)-f(x) mais niveau calcul je bloque

Partie B:

f est maintenant une fonction quelconque définie continue et bornée sur R

1montrer que phi dérivable sur R et exprimer phi'(x) en fonction de f(x+2)-f(x)

J'ai posé F(t) primitive de f(t) donc dérivable sur R
On a phi'(x)=F'(x+2)-F'(x)=f(x+2)-f(x). d'ou phi dérivable sur R

2 Montrer que l'on peut associer un réel tau de x appartenant à [x;x+2] tel que phi(x)=2f(tau de x)
La je voie pas

3 Démontrer que phi bornée.
Si phi(x)=2f(tau de x) alors comme f est bornée phi aussi?

4 Démontrer que si f strictement monotone sur R alors phi strictement monotone sur R avec même sens de variation.
Je voie pas non plus

5a Démontrer que si f périodique de période 2 alors phi est constante
b donner un exemple de f périodique de période 2 et déterminer la fonction phi associée à f
La a j'arrive pas et la b vous me conseillez quelle fonction pour que cela soit le plus simple possible? (j'ai pensé à du sinus ou cosinus?)

partie C

f(t)=(t^2 +2)/(t^2 + 1)
1 Etudier la fonction f. j'ai pas encore fait mais pas de problème je devrai réussir.
2 déterminer sens de variation de phi. je ferai alors phi'(x)=F'(x+2)-F(x)=f(x+2)-f(x) et je devrai trouver
3Déterminer limite en +infini et - infini
Pareil je pense pas de problème
4 Donner tableau variation de phi et démontrer que T admet un axe de symétrie
Je devrai réussir.
5 La question qui me bloque absolument, j'ai besoin d'aide pour un programme en turbo-Pascal
Ecrire un programme qui calcule et affiche une valeur approchée de intégrale de -1 à 1 de f(t)dt en utilisant la méthode des rectangles de largeur 2/n avec n rentré par l'utilisateur.
La je comprends rien je suis nul en turbo pascal

Exprimer phi de x en fonction de x. surement utiliser le résultat précédent?

Merci d'avance pour votre aide!