Trop de racines nuit

Bonjour à tous.
Avis aux Mathforeux curieux :
Le nombre
$\sqrt[3]{\frac{\sqrt{13286889}+3645}{54}}-\sqrt[3]{\frac{\sqrt{13286889}-3645}{54}}$
est entier.
Oui, mais il existe une infinité de nombres entiers, alors lequel est-ce ?
PS : l’auteur de la meilleure solution gagnera une super-hyper-calculatrice-arithmétique.
PPS : les plagiaires seront systématiquement éliminés.
PPPS : les éventuels ex aequo seront départagés par leur orthographe et/ou la clarté de leurs explications. SMS s'abstenir.
Bonne chance.

Bonsoir,

Posons
a=13286889
b=3645
c=54

Reste plus qu'à "LaTexer".

Donc: x= $(a+b)c3−(a−b)c3\sqrt[3]{\frac{\left(\sqrt{a}+b \right)}{c}}-\sqrt[3]{\frac{\left(\sqrt{a}-b \right)}{c}}$

$xc^{1/3}$ = $(a+b)3−(a−b)3\sqrt[3]{\left(\sqrt{a}+b \right)}-\sqrt[3]{\left(\sqrt{a}-b \right)}$

$x3c=(a+b)−(3(a+b)2/3(a−b)1/3)+(3(a+b)1/3(a−b)2/3)−(a−b)x^{3}c=\left(\sqrt{a}+b \right)-\left(3\left(\sqrt{a}+b \right)^{2/3}\left(\sqrt{a}-b \right)^{1/3}\right)+\left(3\left(\sqrt{a}+b \right)^{1/3}\left(\sqrt{a}-b \right)^{2/3}\right)-\left(\sqrt{a}-b \right)$

$x3c=2b−3(sqrta+b)1/3((sqrta+b)1/3(sqrta−b)1/3)+3(sqrta−b)1/3((sqrta+b)1/3(sqrta−b)1/3)x^{3}c=2b-3\left(sqrt{a}+b \right)^{1/3}\left(\left(sqrt{a}+b \right)^{1/3}\left(sqrt{a}-b\right)^{1/3}\right)+3\left(sqrt{a}-b \right)^{1/3}\left(\left(sqrt{a}+b \right)^{1/3}\left(sqrt{a}-b\right)^{1/3}\right)$

$x3c=2b−3(sqrta+b)1/3(a−b2)1/3+3(sqrta−b)1/3(a−b2)1/3x^{3}c=2b-3\left(sqrt{a}+b \right)^{1/3}\left(a-b^2 \right)^{1/3}+3\left(sqrt{a}-b \right)^{1/3}\left(a-b^2 \right)^{1/3}$

$x3c=2b−3(a−b2)1/3((a+b)3−(a−b)3)x^{3}c=2b-3\left(a-b^{2} \right)^{1/3}\left( \sqrt[3]{\left(\sqrt{a}+b \right)}-\sqrt[3]{\left(\sqrt{a}-b \right)}\right)$
$x3c=2b−3(a−b2)1/3(xc1/3)x^{3}c=2b-3\left(a-b^{2} \right)^{1/3}\left(xc^{1/3} \right)$

J'ai trouvé en tripatouillant les valeurs que:

$(a−b2c2)1/3=23=(a−b2)1/3c2/3\left(\frac{a-b^{2}}{c^{2}} \right)^{1/3}=\frac{2}{3}=\frac{\left(a-b^{2} \right)^{1/3}}{c^{2/3}}$

Donc

$x3c=2b−3c2/3((a−b2)1/3c2/3)(xc1/3)x^{3}c=2b-3c^{2/3}\left(\frac{\left(a-b^{2} \right)^{1/3}}{c^{2/3}}\right)\left(xc^{1/3} \right)$

$x3c=2b−2c2/3(xc1/3)x^{3}c=2b-2c^{2/3}\left(xc^{1/3} \right)$

$x^{3}c+2xc-2b=0$

Or

$2bc=729054=135\frac{2b}{c}=\frac{7290}{54}=135$

Alors:

$x^{3} +2x -135=0$

$x = 5$

Chouette parcours; merci.

A+-*/

Déjà une très bonne solution de Carlun.
Qui d'autre relève le défi ?

Citation
Déjà une très bonne solution de Carlun.
Qui d'autre relève le défi ?
Je laisse jusqu'au 10 janvier ...
Bon courage et bonne année à tous.

Bonjour,

La solution ci-dessus ressemble (à mes yeux) à un beau dialogue "poémathique": au fur et à mesure de la discussion, les éléments se transforment, se con-fondent et finissent par s'entendre.

J'ai encore réfléchi mais, avec mes +-*/ je ne vois pas d'autres pistes à suivre...
Peut-être qu'un coup de pouce serait le bienvenu.

J-2

A+-*/

Bonjour,
Je n'ai pas décelé d'erreur dans ta solution.
Elle présente de plus à mes yeux l'avantage de ne nécessiter aucun tâtonnement, même évident, contrairement à certains exemples que tu peux lire ici : Equation du troisième degré.
De toute façon, je serais surpris qu'une autre réponse se manifeste maintenant.