centrale TSI 2009 : developpement limité d'une integrale

bonjour tout le monde,
ca faisait un ptit bout de temps que je n'etais pas venu ^^

je suis sur que c'est un truc bete mais je crois que les revisions de sup de thermodynamique ont eu raison de ma pauvre tete XD

donc voici mon probleme : on a

$f:x→x∫0xet1+tdtf:x\rightarrow x\int_{0}^{x}{\frac{e^t}{1+t}dt}$

et on veut montrer l'existence puis expliciter sous forme de somme la suite $u_k$ )

telle que ∀n∈N,f(x)= $∑k=0nuk∗xk+o(xn)\sum_{k=0}^{n}{uk*x^k}+o(x^n)$ au voisinage de 0

dans les parties precedentes on a montré que f est definie sur ]-1;+∞[
que f tendait vers +∞ à ces 2 bornes

on a montré aussi par methode des trapezes que Yk est une approximation de f(Xk)
avec pour n∈N* k∈Z et k>-n Xk=k/n

et pour k∈N* Yk= $kn(12n+ekn2(n+k)+∑i=1k−1eikn+i)\frac{k}{n}(\frac{1}{2n}+\frac{e^{\frac{k}{n}}}{2(n+k)}+\sum_{i=1}^{k-1}{\frac{e^{\frac{i}{k}}}{n+i}})$

et j'ai montré j'espere sans erreur que si -n< k <0

Yk= $kn(12n+ekn2(n+k)+∑i=1−k−1e−ikn−i)\frac{k}{n}(\frac{1}{2n}+\frac{e^{\frac{k}{n}}}{2(n+k)}+\sum_{i=1}^{-k-1}{\frac{e^{\frac{-i}{k}}}{n-i}})$

alors si quelqu'un voit je suis preneur, en attendant je fais l'autre partie de l'epreuve sur les equa diff ^^

je vous souhaite a tous de joyeuses fetes de fin d'année