Developper des formules carrées en statistiques : variance, covariance



  • Bonjour à tous!

    Alors en fait j'ai un devoir maison, et il demande de développer les carrés du membre de gauche, puis de démontrer l'égalité;

    V(x)= 1ni=1n(xix¯)2=(1ni=1nxi2)x¯2\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (x_{i}- \bar{x})^{2} = ( \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{}x_{i}^{2}) - \bar{x}^{2}

    Puis ils disent soit (x1;y2), (x2;y2).. Une série stat' double de n valeurs ; développer les carrés du membre de gauche puis démontrer l'égalité:

    Cov(x;y)=1ni=1n(xix¯)(yiy¯)=(1ni=1nxiyi)x¯y¯Cov (x;y)= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{} ( x_{i} - \bar{x})(y_{i} - \bar{y} ) = ( \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{}x_{i}y_{i}) - \bar{x}\bar{y}

    Vous pouvez m'expliquer s'il vous plait? :s



  • Bonsoir

    Pour la 1re, (xix)2=xi22xix+x2(x_i - \overline x)^2 = x_i^2 - 2x_i \overline x + \overline x^2

    Et ce pour i allant de 1 à n, donc en fait :

    (x1x)2=x122x1x+x2(x_1 - \overline x)^2 = x_1^2 - 2x_1\overline x +\overline x^2
    (x2x)2=x222x2x+x2(x_2 -\overline x)^2 = x_2^2 - 2x_2\overline x +\overline x^2
    (x3x)2=x322x3x+x2(x_3 -\overline x)^2 = x_3^2 - 2x_3\overline x +\overline x^2
    etc.
    (xnx)2=xn22xnx+x2(x_n -\overline x)^2 = x_n^2 - 2x_n\overline x +\overline x^2

    On ajoute tout ça et au final à droite on récupère... conseil : ne pas oublier la définition de x\small \overline x !


 

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