Montrer qu'une suite Vn est géométrique

Bonjour, j'ai un exercice de spé maths qui est assez différent de ceux que l'ont fait d'habitude et je suis bloquée ...

Voici l'énoncé : Soit la suite (Vn) définie pour tout entier naturel, par : Vn= Un+1-Un.

a) Montrer que la suite (Vn) est une suite géométrique.

J'ai donc commencé à faire ça :

Vn = Un+1-Un donc on a aussi Un = Un+1-Vn
c'est à dire Vn+1 = Un+1(n+1)-Un
= 1/4Un+3(n+1)-Un+1-Vn
= 1/4Un+3(n+1)-1/4Un+3-Vn
= ....

C'est ici que je me suis arrêtée, je suis bloquée avec le (n+1) !
Merci !

Bonjour

donne la définition de Un, stp

Soit la suite (Un) définie par : Uo = 1 et Un+1 = 1/4Un+3

Donc on a

U_0 = 1 et U_{n+1} = 1/4 U_n+3

V_n= U_{n+1}-U_n

Pour montrer que (Vn) est géométrique, il faut exprimer V_{n+1} comme un multiple de V_n.

Exprimons V_{n+1} et tâchons donc de simplifier, factoriser pour faire apparaître V_n

Déjà V_{n+1} = U_{n+2}-U_{n+1}.

On a donc besoin de connaître U_{n+2} = 1/4 U_{n+1} +3.

Alors V_{n+1} = U_{n+2}-U_{n+1} = 1/4 U_{n+1} +3 - (1/4 U_n +3).

La conclusion s'ensuit.

Oui mais cela fait 1, et on doit trouver quelque chose fois Vn

Non, ça ne fait pas 1, pas du tout.

1/4 U_{n+1} +3 - (1/4 U_n +3) = 1/4 (U_{n+1} - U_n).

Tu retrouves ainsi "un certain nombre de fois" le terme V_n.

Oui mais de : 1/4((un+1) - Un) = 1/4 (vn)??

Cela signifie que V_{n+1} = 1/4 V_n.

Cqfd.

Donc (vn) = v0xqn
= 9/4 x (1/4)n

Mais (un) = ?

Cela t'est demandé sans indication ?

Il doit sans doute falloir passer par la somme V_{n-1} + V_{n-2} + ... V_1 + V_0.

Remarque : le n est en exposant dans ton précédent message (c'est $q^n$ )

Il faut exprimer vn en fonction de n et en deduire que un = -3 x (1/4)n +4

J'ai donc trouver vn = 9/4 x (1/4)n

Donc je remplace
Un= Un+1 - Vn
Donc un = 1/4Un +3 - Vn
= 1/4 Un + 3 - 9/4 x (1/4)n
3/4 Un = 3 - Vn
= 3 - 9/4 x (1/4)n

Un = 4-3x(1/3)n
J'ai tout diviser par 3/4 .

$U_n$ = $4-3x(1/3)^n$

Ben voilà, c'était plus simple comme ça !

Question : supposons qu'une suite $a_n)$ soit définie par $a_0$ quelconque fixé et $a_{n+1} = 13 a_n - 8$ . On introduirait encore la suite auxiliaire $b_n)$ , définie par $b_n = a_{n+1} - a_n$ . Quelle en serait la nature ?

Alors la aucune idée ^^

Et pour trouver le sens de variation de la suite (un) : en utilisant Un+1 - Un on retombe sur la suite (vn) , mais je ne sais pas apres comment demontrer qu'elle est croissante.

C'est bien dommage que tu ne retires pas de savoir-faire technique de tout le travail fourni dans les posts précédents. :frowning2:

Pour tes variations, intéresse-toi au signede la différence U_{n+1} - U_n

PS : à l'avenir, pose l'ensemble des questions au départ, ça aidera à anticiper !

J'avais deja posté le sujet dans un autre sujet, mais personne ne m'a repondu ....

Le signe est alors positif non?

Ah pas vu. Vaut mieux faire un "up" dans son propre fil dans ces cas-là.

Sinon, oui : la variation est positive, la suite est donc croissante.

Ok merci !