Le chemin le plus long entre 2 points?

Bonjour à tous,

Plus autodidacte qu'érudit, je me demande:

Quel est le chemin le plus long entre deux points?*

Y a-t-il paradoxe dans l’aire, dans l’espace ?

Un peu de topologie sans doute.

Je pensais que:
Un point est l’intersection de deux (au moins) droites sécantes.
Évidemment le point est infiniment petit.
La droite est la suite continue et infinie de points.
Cette droite infinie se boucle-t-elle au point [–infini,+infini] ?
Dans la négative, le plus long chemin entre deux points serait-il aussi le plus court.
Dans l’affirmative les perspectives de développement m'intéressent.
(qui trouve cherche.)

A vous lire.

A+-*/
*(cette question a déjà été postée sur un autre forum de math)

Bonjour,
Les difficultés proviennent peut-être du mélange entre notions "usuelles" et notions "mathématiques".
Ainsi, "un point est infiniment petit" n'a pas de sens si on ne précise pas ce qu'est un point ni ce que signifie ici l'adjectif "petit" ( s'agit-il de mesure, de dimension, d'autre chose ? ).
En géométrie "élémentaire", un point ne se définit pas : c'est une notion première.
Si on devient plus "savant", on peut dire qu'un point est un élément d'un espace affine ( à condition d'avoir défini un espace affine ... ).
Cela touche au fondement même des Mathématiques : à partir de l'ensemble vide ( qui ne contient rien ) on peut construire toutes les mathématiques !
Pour les autres questions posées, on verra ensuite séparément.
Commence par poser des questions sur ce que je viens d'écrire.

'jour,

C'est sur France-Culture que j'entendis (il y a longtemps) cette assertion.(par des humoristes)
Et, en raisonnant, je concluais que ce chemin pouvait être aussi le plus court (passage du plus long chemin entre les deux points aussi rapproché soient-ils).

"Mélange entre notions "usuelles" et notions "mathématiques" c'est sûr.

Intuitif plus que logique sans doute.

L'espace affine ? (connais pas mais prêt à en apprendre)
Je pensais:
L'intersection de 2 droites c'est un (et pas 2) point (je crois).
Si entre deux points (aussi proches que possible (pas confondus))passent une infinité de droites parallèles (donc pas confondues) il ne faudrait pas qu'elles recouvrent l'ensemble des points (?) séparant les deux points sécants de départ.
Pourvu que le plus long chemin entre deux points ne soit pas le plus court.

Je me focalisai aussi sur le(s) point(s) à l'infini...

l'espace affine : plus tard.
Par deux points distincts ( pas confondus ) passe une seule droite ( en géométrie euclidienne usuelle ). Je ne comprends pas "parallèles" : entre elles ? à une autre ?
"aussi proches que possible" n'a pas de sens à ce stade.
Les points "séparant" les deux points donnés : il faut définir ce que cela signifie.

Citation
Je me focalisai aussi sur le(s) point(s) à l'infini...Tu as raison de mettre un éventuel pluriel ou singulier.
En géométrie projective, une droite projective admet un point à l'infini.
Mais la géométrie projective n'est pas euclidienne : la notion de distance disparaît.
En analyse réelle, on définit la "droite compacte" ( ou l'ensemble R complété ) en adjoignant à R deux éléments notés -∞ et +∞. Ils vérifient comme les autres nombres "normaux" les propriétés d'ordre, mais plus celles de distance.
Bref : ce que l'on gagne d'un côté on le perd de l'autre.
C'est pourquoi il faut être très précis concernant le domaine dans lequel on travaille.

'lut,

mathtous

Par deux points distincts ( pas confondus ) passe une seule droite ( en géométrie euclidienne usuelle ). Je ne comprends pas "parallèles" : entre elles ? à une autre ?
"aussi proches que possible" n'a pas de sens à ce stade.
Les points "séparant" les deux points donnés : il faut définir ce que cela signifie.

Donc, la droite joignant ("imaginairement") les deux points (sécants) de départ pourra être coupée par une infinité d'autres droites... je ne considère (par clarté) que l'ensemble des droites parallèles (entre elles mais non parallèle à la droite imaginaire entre les 2 points de départ, évidemment) les unes aux autres qui n'ont (donc) aucun point sécant commun et encore moins sur la droite (imaginée) séparant les 2 points distincts de départ.

... Allé! j'ose:
"Pourvu que le plus long chemin entre deux points sécants ne recouvre pas tous les points sécants possibles les séparant."

A+-*/

Je n'avais pas relevé ( désolé ) : points sécants : ça ne veut rien dire.
Mais tu l'emploies partout .
Les points sont distincts ou confondus.
Qu'entends-tu par "imaginairement" ?
Peux-tu joindre un dessin ?
Ou tout ceci n'est-il finalement qu'un canular ?

'lut,

Désolé de l'imprécision.
(Rappel: je n'ai que +-*/ dans mon bagage et quelques questions)

j'appelle point sécant l'intersection de deux droites. (comme cela je faisais l'économie de sa dimension). ais-je tort?
A et B sont ces deux points (disons) infiniment proches.
On part de A et entamons le plus long chemin possible avant de rejoindre B; forcément ce chemin passera entre A et B (sans cela A et B seraient confondus) d'où les //.
Entre eux, une infinité de points.
Entre eux, une infinité de droites //. (j'en dessine que quelques)

$fichier math$
Imaginairement : c'est la droite liant A à B (points tillés).

Canular???
Est-elle si farfelue cette question?

Il me semblait intéressant de lier l'infiniment grand avec l'infiniment proche.

A+-*/

Point sécant ne se dit pas.
On parle de point d'intersection de deux droites sécantes ( ce sont les droites qui sont sécantes ).
J'essaie de comprendre ton problème :
Tu as deux points distincts A et B ( proches ou pas ça ne veut rien dire ).
Tu considères les points du segment [AB] ( il y en a une infinité ).
Tu considères un faisceau de droites toutes parallèles entre elles et leurs points d'intersection avec le segment [AB].
Ensuite, je ne comprends pas. Quel chemin entames-tu en partant de A ? décris-le.
Et il n'est nullement obligatoire qu'un tel chemin, même long, repasse entre A et B.
Si tu pars de A en suivant la parallèle de gauche, comment ensuite rejoins-tu B ?
Le chemin est-il continu ?
En bref, qu'appelles-tu "chemin" ?

Bonsoir,

Bin oui! point d'intersection ! c'est noté.

mathtous
Tu as deux points distincts A et B.
Tu considères les points du segment [AB].
Tu considères un faisceau de droites toutes parallèles entre elles et leurs points d'intersection avec le segment [AB].

Oui c'est ça.

mathtous
Quel chemin entames-tu en partant de A ? décris-le

Mettons que je pars de A en suivant la parallèle (par exemple) de gauche, cette demi droite [A,oo[ , à l'infini, rejoint l'autre demi droite joignant B ]-oo,B]. (Il me semble me rappeler que "deux droites se rejoignent à l'infini").
Mais ce point à l' oo (+ ou -) est-il continu? ... bof!

mathtous
En bref, qu'appelles-tu "chemin" ?

C'est le trajet (la figure?, la courbe?, la droite?, l'ensemble de points...) qui relie les points A et B (y compris le segment de droite joignant A et B (= chemin le plus court)).

(C'est le plus long qui m'intéresse.)

A+-*/

Bonjour,
Je commence vaguement à comprendre ton problème.
Mais comme je te l'ai dit au début de cette discussion, il n'est pas bon de mélanger des domaines différents ( on peut le faire avec beaucoup de précautions et en précisant les choses : par exemple, l'introduction d'éléments non réels dans un plan "euclidien" ).
C'est ce que tu fais ici pourtant, quand tu dis que deux droites parallèles se coupent à l'infini : tu navigues entre deux structures incompatibles.
En géométrie euclidienne usuelle, deux droites parallèles sont par définition deux droites ( d'un plan ) n'ayant aucun point commun.
Citation
En géométrie projective, une droite projective admet un point à l'infini.
Mais la géométrie projective n'est pas euclidienne : la notion de distance disparaît.En géométrie projective, les droites parallèles n'existent pas : deux droites ont toujours un point commun ( qui peut éventuellement être un point à l'infini ).
Nez en moins, il est fréquent que l'on lie les deux notions en complétant le plan usuel par une droite de l'infini : on plonge l'espace euclidien dans un espace projectif. D'ailleurs les expressions "point à l'infini", "droite de l'infini", n'ont aucun sens en géométrie projective stricto sensus : elles ne se justifient que dans l'exemple donné : compléter un plan ( ou une droite ) euclidien par quelque chose qui lui donne une structure projective.
Mais hélas, comme je l'ai rappelé dans ma citation, il n'y a plus de distance dans un espace projectif. On ne peut donc plus parler de plus longue ou de plus petite distance.

Tu es donc tenu de choisir :

ou bien tu restes en géométrie euclidienne usuelle et tu peux parler de distance ( quitte à généraliser cette notion si tu veux ) , mais le fait d'emprunter la parallèle passant par A ne te permettra jamais de revenir en B par une autre parallèle.
Pour revenir en B, tu peux par exemple emprunter une ligne courbe continue de A à B et évaluer sa longueur.
Mais tu pourras toujours trouver un autre chemin plus long : le chemin le plus long n'existe pas ( il serait de longueur infinie : terminologie à préciser ).
ou bien tu te places dans un plan projectif, auquel cas tu peux partir de A en suivant la droite rouge qui y passe ( tu remarqueras que je n'utilises plus ici l'adjectif "parallèle" qui n'a plus de sens ), et revenir en B en suivant une autre droite rouge.
Mais dans ce cas, la longueur du chemin n'existe pas : le plan projectif ne peut pas être muni d'une distance.

J'espère cette fois avoir mieux répondu à ton attente.
Si toutefois tu cherches des liens entre infiniment petit et infiniment grand ( terminologie qu'il faut absolument définir si on ne veut pas parler dans le vide ), il en existe de très simples.
A+
MT

Bonjour,

Je prends bonne note de ceci:

Mathtous
il n'est pas bon de mélanger des domaines différents. Il n'est pas bon de naviguer entre deux structures incompatibles.
En géométrie projective, une droite projective admet un point à l'infini.
Mais la géométrie projective n'est pas euclidienne : la notion de distance disparaît.
Il n'y a plus de distance dans un espace projectif. On ne peut donc plus parler de plus longue ou de plus petite distance.

Je choisis (évidemment) l'espace projectif (et j'élimine toutes les références aux distances, aux formes, et ne m'attache qu'à « la structure des relations » (topologie élémentaire si je ne m'abuse).

Mathtous
Dans un plan projectif,... tu peux partir de A en suivant la droite rouge qui y passe ...et revenir en B en suivant une autre droite rouge.

Au delà de la question de « plus long ou plus court chemin » j'en suis venu à cette idée qu'un chemin séparant deux points distincts (appartenant à un plan projectif puisque tel est mon choix) pourrait passer entre ceux-ci encore et encore et encore et toujours.

Si tel est le cas, n'est-il pas paradoxal de désigner deux points comme distincts puisque la distance les distinguant pourrait être le chemin le plus (... ? Notion de distance abstenue).

Bref: Dans le plan projectif, quelle(s) loi(s) distingue(nt) un point d'un autre?

Ouf! (si trop farfelu on arrête là).

A+-*/

Bonjour,
Citation
Au delà de la question de « plus long ou plus court chemin » j'en suis venu à cette idée qu'un chemin séparant deux points distincts (appartenant à un plan projectif puisque tel est mon choix) pourrait passer entre ceux-ci encore et encore et encore et toujours.Il faut revenir à la définition précise d'un plan projectif : ensemble des directions vectorielles de R³.
Dans un tel ensemble, la notion "entre deux ..." n'a pas de sens.
En revanche, dans le plan euclidien, tu peux très simplement passer par tous les points situés entre les deux points donnés : il suffit de parcourir le segment ( il y a bien entendu d'autres possibilités ).

Dans le plan projectif, comme dans n'importe quel ensemble, deux éléments ( ici deux points ) sont soit égaux soit différents.
En ce qui concerne les points du plan projectif, tu peux ( si tu souhaites du "concret" ) utiliser les coordonnées "homogènes" : deux points sont égaux ( confondus ) si leurs coordonnées homogènes sont équivalentes ; sinon ils sont distincts.
Par exemple, le point A de coordonnées (2,3,5) est le même que le point de coordonnées (2/5 , 3/5 , 1) ou que le point de coordonnées (4 , 6 , 10).
Le point de coordonnées (4,3,0) est le même que le point de coordonnées (8,6,0) ( c'est un point situé sur la droite de l'infini ), mais ce n'est pas le même que le point (3,4,0) ( qui est lui aussi à l'infini mais dans une autre direction ).

A+
MT

'soir,

Mathtous
Il faut revenir à la définition précise d'un plan projectif : ensemble des directions vectorielles de R³.
Dans un tel ensemble, la notion "entre deux ..." n'a pas de sens.

C'était bien la conclusion à laquelle j'aboutissais.

Entre A(2,3,5) et B(3,9,4) aucune idée de ce qui les sépare:
"la notion "entre deux ..." n'a pas de sens".
Entre eux n'existe-t-il pas les coordonnées d'un point C par lequel pourrait passer une "fonction", une "figure", un "chemin de points" ? Si oui! pourquoi pas encore un autre et un autre encore?

A mon avis, les valeurs des coordonnées elles-mêmes sont précaires entre elles. De quelle manière?

(idée, question trop farfelu? on arrête là).

A+-*/

Citation
Entre eux n'existe-t-il pas les coordonnées d'un point C par lequel pourrait passer une "fonction", une "figure", un "chemin de points" ? Si oui! pourquoi pas encore un autre et un autre encore?Non : pas "entre" mais "par" : par deux points distincts d'un plan projectif il passe une droite projective et une seule. On peut aussi faire passer plusieurs coniques par ces deux points. ( Pas de notion de distance, ainsi, en géométrie projective, une ellipse est indiscernable d'un cercle . Plus précisément la notion de cercle n'a pas de sens ).

Citation
A mon avis, les valeurs des coordonnées elles-mêmes sont précaires entre elles.Je ne comprends pas ce que tu veux dire : précaires ?