Problèmes de fonctions

On enlève les coins carrés, de coté x, à une feuille de carton carrée de côté 30.
On plie suivante les pointillés pour obtenir une boite sans couvercle .
1.(a)Justifier x∈]0;15[.
(b)Exprimer le volume V(x) de la boîte en fonction de x.
On détaillera.
2.Soit f définie sur ℜ par : f(x) = 4x³-120x²+900x.
(a)Calculer f'(x).
(b)Etudier les variations de f sur ℜ.
Aide:Pour simplifier les calculs on pourra factoriser par 12.
(c)En déduire le volume maximal de la boîte.

Pour la question 1. je ne sais pas que faire mais pour la question 2(a) je trouve: f'(x)=12x²-240x+900
et pour la 2(b) je commence un calcul de delta car c'est une fonction polynomial de second degré ce qui donne:
∇=b²-4ac
⇔240² -4x12x900
⇔57600-43200
∇=14 400>0 Donc delta a 2 solutions x1 et x2
x1=-b-√∇/2a x2=-b+√∇/2a
ce qui nous donne
x1=5 et x2=15
Mais après je suis bloqué pour Etudier les variations de f sur ℜ je vous demande donc votre aide qui me sera surement très précieuse merci .

Salut

Détermine le signe de la dérivée grâce à la factorisation du trinôme a(x-x1)(x-x2).

12(x-5)(x-15) ???
Je n'ai jamais vu une telle formule en cours ^^

je vois...

en général vous élèves n'y faites pas assez attention, obnubilés que vous êtes par "delta" et les formules donnant les racines

c'est le théorème de factorisation, essentiel dans ce chapitre.

en effet, trouver les racines x1 et x2 par la formule (-b+√Δ)/(2a) permet d'écrire le trinôme sous forme factorisée

$a x^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$
vérifie dans ton cours (la démonstration qui y figure mène inévitablement à ce résultat) et pourquoi pas dans ton bouquin.

c'est aussi cette factorisation qui justifie le théorème sur le signe du trinôme (signe de -a à l'intérieur des racines...).

12x²-240x+900 est-il égal à ce que tu proposes, 12(x-5)(x-15) ?

pour t'en assurer/t'en convaincre, je ne puis que t'inciter à vérifierpar toi-même, en développant 12(x-5)(x-15).

Le développement méne à cela :
12x-60(x-15)
12x²-180x-60x+900=12x²-240x+900
Cela me mène bien au resultat esperé mais je ne sais toujours pas que faire de se 12(x-5)(x-15).

Sinon pourrait tu m'aider pour la question 1 car je pateauge toujours dans la gadou ?

Pour celle-ci ?
Citation
On enlève les coins carrés, de coté x, à une feuille de carton carrée de côté 30.
1.(a)Justifier x∈]0;15[.

un simple dessin suffit : c'est symétrique par rapport au milieu du côté

Sinon pour les variations, je t'ai déjà dit d'étudier le signe de la dérivée : avec un tableau de signes, exactement comme tu fais en classe dans ce cas. Et c'est la forme factorisée ci-dessus qui t'aide à trouver ce signe.

Je n'ai pas compris t'as réponse à la question 1 mais pour les variations je dois prendre les valeurs suivante : 12/x-5/x-15 ?????

Voici le schéma de mon exercice

C'est l'image fourni avec l'exercice peut-être que vous comprendrez mieux ainsi.

C'est surtout toi que ça devrait aider à comprendre la question 1a : observe bien, il y a des carrés partout, ainsi x ne peut pas être égal à 16 cm, sinon...

Pour le tableau de signes de 12(x-5)(x-15), il faut connaître le signe de chaque facteur et par exemple placer cela dans un tableau de signes comme en seconde (pardon pour les redondances).

Là où la dérivée est positive, la fonction est croissante, etc.

Ok donc pour la question 1a je répond que comme il y'a des x des deux cotés de chaque coté du carré j'en déduis que puisque un coté = 30cm la moitié = 15cm donc x est forcement entre 0 et 15.
Pour le tableau de signe je fais donc 3 ligne avec 12 et x-5(valeur d'annulation 5) et x-15(valeur d'annulation 15) ???
Peut tu vérifier s'il te plait :)?
Et comment je fais pour la question 1.(b) vu que le volume d'un cube est $arrete^3$ comment dois je faire si je ne connait pas la valeur de x entre 0 et 15 ?
De plus je viens de faire le tableau avec 12 x-5 et x-15 je trouve que f est croissante puis décroissante puis croissante.Est ce bon ?

il est inutile de faire figurer la ligne "12", facteur positif sans incidence sur le signe de la dérivée

la boite obtenue aura des faces de quelle nature ? ce ne sera généralement pas un cube, mais un pavé : peut-être faudrait-il que tu découpes une feuille de papier selon le schéma proposé pour t'en rendre compte.

on te demande à la question 1b) d'exprimer le volume en fonction de x, c'est à dire sans te préoccuper de celle ci, désignée simplement par la lettre.

Les faces sont rectangulaire désolé mais je n'ai absolument rien compris puisque l'on plis selon les pointillés cela donne une boite sans couvercle donc un pavé à la base carré mais aux cotés rectangulaires sans couvercle ,mais le calcul de volume comment s'effectue-t-il dans ces conditions?
Donc le reste de mes réponses sont bonnes ?

il n'y a pas d'air dedans malgré tout ?

la base n'est pas nécessairement carrée

Oui mais dans ce cas elle est carée n'est ce pas ?
sinon l'aire du coté rectangle est 30x et celle de la base je ne sais pas surement 30-x².

dans *quel *cas ?

dimensions boite : 30-2x par 30-2x par x.

La base est carrée celon le dessin donc la base est de 30-2x et les coté rectangulaire sont de largeur 30-2x et de longueur x donc l'air des rectangles est de x(30-2x).

Oui ok appelant base le "fond" de la boite, c'est un carré de côté 30-2x.

le volume d'un tel oblet est égal au produit de ses trois dimensions (que la base soit carrée ou rectangle) or, tu n'as multiplié que le côté 30-2x par la hauteur x.

donc sa ferait (30-2x)²*x ?

Voilà.

Et si tu développes l'expression (30-2x)²*x, tu devrais retomber sur f(x) = 4x³-120x²+900x, fournie dans la partie 2.

Oui c'est bon je trouve sa mais que dois je en conclure le volume x de la boite est égale a 900x-120x²+4x³ centimetre³ ????Ou peut être faut-il donner la formule et non pas une valeur exact ?
Sa ne veut rien dire ???
et pour la question 2.c le volume maximal de la boîte est égale a 2000 atteint pour x =5?????