Diviseurs des coefficients binomiaux

[mathtous]

Bonjour à tous,
M’intéressant aux diviseurs des coefficients binomiaux, je suis tombé sur un texte de Wikipedia qui me pose problème.
Je cite Wikipedia :

« Les diviseurs de C(n,k) possèdent la propriété suivante : si p est un nombre premier et $p^r$ est la plus grande puissance de p qui divise C(n,k), alors r est égal au nombre d’entiers j tels que la partie fractionnaire de $k/p^j$ soit plus grande que la partie fractionnaire de $n/p^j$. C’est aussi le nombre de retenues dans la soustraction de n par k, lorsque ces deux nombres sont écrits en base p.
En particulier, C(n,k) est toujours divisible par n/pgcd(n,k). »

La propriété citée est due à Kummer ( 1852 ).
Mais ce qui m’intrigue c’est la dernière phrase : la façon dont elle est rédigée laisse penser que c’est une conséquence immédiate de la propriété de Kummer.

1. Je sais démontrer la propriété de Kummer.
2. Je sais démontrer que C(n,k) est divisible par n/pgcd(n,k).

Mais je le démontre sans utiliser la propriété de Kummer, et pire je ne vois pas le lien existant entre les deux d’autant plus que n/pgcd(n,k) n’a aucune raison d’être premier.
3) Quelqu’un pourrait-il m’éclairer sur ce possible lien ? C’est sans doute évident mais comme souvent dans ce cas on ne voit pas ce qui crève les yeux.
Merci d’avance.
MT

[mathtous]

SVP : quel rapport entre la propriété citée au début par Wikipédia et la fin "En particulier ..." ?
Merci.