Etudier les limites, variations et tracer une fonction avec logarithme népérien

Bonjour à tous, j'ai un DM à rendre pour lundi mais je bloque dessus et j'aurais besoin d'aide SVP.

F est la fonction définie sur]0 ; +∞ [par : f(x) = x ln(x)-x
C est la courbe représentative de f dans un repère.

a)Factoriser l'écriture de f(x) et en déduire la limite de f en + ∞
On admet que f a pour limite 0 en 0.

b)Calculer f'(x) et étudier le signe de f'(x)

c)Dresser le tableau de variation de f.

d)Démontrer que l'équation f(x)=0 a une unique solution alpha dans l'intervalle ]2 ;3[.

e)Tracer C.

Merci d'avance !

Bonjour

ne te contente pas de poster l'énoncé si tu veux que quelqu'un t'aide
indique des éléments de réflexion, par exemple à propos de
Citation
a)Factoriser l'écriture de f(x) et en déduire la limite de f en + ∞

Mais le problème c'est que je ne sais pas comment faire pour le factoriser par x

x = 1x et x ln x présentent un facteur commun

Est-ce que c'est sa ?
x(1+ln(x))

respecte l'ordre et le signe
x lnx - x = ...

x(ln(x)-1)

Et après pour la limite c'est lim f(x) x→+∞ = 0

pas du tout

x tend vers +∞

ln x -1 aussi

donc leur produit en fait de même