Calculer la primitive d'une fonction exponentielle

Bonjour, voila j'ai un exercice sur les primitives que je ne comprend pas.

Soit G la fonction définie sur [0 ; +∞[ par G(x) = (ax+b)e^(-x/3)
Determiner a et b pour que G soir une primitive de la fonction f(x) = (x-1)e^(-x/3)

En deduire une primitive de f.

Voila je ne sais pas quelle fonction il faut deriver.
Merci

Bonjour

G doit une primitive de la fonction f c'est-à-dire G' = f

il faut dériver G.

Ok
G'(x) = e^(-x/3) x [a+(-1/3)(ax+b)]
?

ok

maintenant trouve a et b pour que e^(-x/3) [a+(-1/3)(ax+b)] = (x-1) e^(-x/3)

il faut resoudre cette equation telle quel?

but : trouver a et b pour que l'égalité soit vraie ; n'oublie pas que l'égalité doit être vraie pour tout x, ce qui signifie qu'en particulier elle doit être vraie pour x= 0 ou pour x = 1... ceci te donnera des équations plus "traditionnelles".

Si on passe tout du meme coté et qu'on re factorise
on trouve :
e^(-x/3) [a - 1/3ax - 1/3b - x +1] = 0
Mais apres ? Un systeme?

déjà, dégage l'exponentielle

donc il reste (a - 1/3ax - 1/3b - x + 1) = 0

ceci devant être vrai pour tout x, en particulier pour x = 0 : tu en déduis...

Je vois vraiment pas !

remplace x par 0

Ca donne alors a - 1/3b + 1 = 0

voilà ; maintenant si tu prends plutôt x = 1 dans a - 1/3ax - 1/3b - x + 1 = 0 alors ...

Il reste a - 1/3a - 1/3 b = 0

oui, donc tu as deux équations à deux inconnues ; trouve a et b maintenant

a=-3
b=-6?

ok

Donc G(x) = (-3x -6)e^(-x/3)??

dérive cette expression pour vérifier !

On retombe bien sur f !
Donc G'(x) est une primitive de f nn?

G' = f donc G est une primitive de f : ok

C'est tout pour : deduire une primitive de f?
Il n'y a pas de k dans l'histoirE?