somme d'un polynome



  • Bonjour j'ai s(n)=1/3(n)^3+1/2(n)²+1/6n je dois prouver cette conjecture par recurrence .
    Sachant que s(n+1)=1/3(n+1)^3+1/2(n+1)²+1/6(n+1)
    je dois deriver s(n) mais en la dérivant je ne trouve pas s(n+1)=s(n)
    je trouve s'(n)=n²+n+1/6 si vous pouviez m'aider merci d'avance !


  • Modérateurs

    Bonjour,

    Très confus tout ça !

    Je te suggère de nous donner ton énoncé entier ( donne la propriété que tu dois démontrer par récurrence )



  • n
    Sn=∑k²
    k=0
    On cherche s'il existe un polynome de degré 3, soit p(x)=ax^3+bx²+cx+d,exprimant cette somme ou ce volume:S(n)=P(n) pour tout entier naturel n supérieur ou égal a 1.Montrer que dans cette hypoyhèse on a:d=0 et a+b+c+d=1 .Toujours sous l'hypothèse que P existe bien ,montrer plus généralement que (a,b,c,d)est solution d'un système de 4 équations à quatres inconnues que l'on résoudra.Trouver P(x).(jusque l'à pas de problème je trouve (a,b,c,d) et P(x)=1/3(x)^3+1/2(x)²+1/6x))
    Ecrire la conjecture relative à Sn.Montrer cette conjecture par récurrence . voilà mon problème c'est ecrire le conjecture relative à Sn.Et la montrer par récurrence .
    Merci d'avance


  • Modérateurs

    En bref , il faut que tu démontres par récurrence que , pour n supérieur ou égal à 1 :

    $\text{\fbox{s_n=\bigsum_{k=0}^{k=n}k^2=\frac{1}{3}n^3+\frac{1}{2}n^2+\frac{1}{6}n}$

    Je t'indique la marche à suivre :

    a)Initialisation pour n=1

    Tu vérifies que

    $\text{s_n=\bigsum_{k=0}^{k=1}k^2=\frac{1}{3}1^3+\frac{1}{2}1^2+\frac{1}{6}1$

    b) Transmission ( on dit aussi hétédité )

    Hypothèse à un ordre n ( n≥ 1) :

    $\text{s_n=\bigsum_{k=0}^{k=1}k^2=\frac{1}{3}n^3+\frac{1}{2}n^2+\frac{1}{6}n$

    Avec cette hypothèse , conclusion à démontrer à l'ordre (n+1) :

    $\text{s_{n+1}=\bigsum_{k=0}^{k=n+1}k^2=\frac{1}{3}(n+1)^3+\frac{1}{2}(n+1)^2+\frac{1}{6}(n+1)$

    DEMONSTRATION:

    $\text{s_{n+1}=\bigsum_{k=0}^{k=n+1}k^2=\bigsum_{k=0}^{k=n}+(n+1)^2$

    $\text{s_{n+1}=s(n)+(n+1)^2$

    Tu remplaces S(n) par $\text{\frac{1}{3}n^3+\frac{1}{2}n^2+\frac{1}{6}n$ , tu ajoutes $\text{(n+1)^2$ et après calculs , tu dois trouver $\text{\frac{1}{3}(n+1)^3+\frac{1}{2}(n+1)^2+\frac{1}{6}(n+1)$

    Bons calculs .



  • mtschoon

    DEMONSTRATION:

    $\text{s_{n+1}=\bigsum_{k=0}^{k=n+1}k^2=\bigsum_{k=0}^{k=n}+(n+1)^2$

    $\text{s_{n+1}=s(n)+(n+1)^2$

    Tu remplaces S(n) par $\text{\frac{1}{3}n^3+\frac{1}{2}n^2+\frac{1}{6}n$ , tu ajoutes $\text{(n+1)^2$ et après calculs , tu dois trouver $\text{\frac{1}{3}(n+1)^3+\frac{1}{2}(n+1)^2+\frac{1}{6}(n+1)$

    Bons calculs .

    oui mais en remplacant s(n) par $\text{\frac{1}{3}n^3+\frac{1}{2}n^2+\frac{1}{6}n$ et en lui ajoutant (n+1)² je n'ai toujours pas trouver !Donc si vous pouviez me dire par ou commencer


  • Modérateurs

    Le plus simple peut-être consiste à développer séparemment les deux expressions en les mettant sous forme de polynomes réduits et ordonnés suivant les puissances décroissantes de n :

    Tu dois trouver le même polynome ( $\text{{\frac{1}{3}n^3+\frac{3}{2}n^2+\frac{13}{6}n+1$ )


 

Découvre aussi nos cours et fiches méthode par classe

Les cours pour chaque niveau

Encore plus de réponses par ici

Il semble que votre connexion ait été perdue, veuillez patienter pendant que nous vous re-connectons.