somme d'un polynome



  • Bonjour j'ai s(n)=1/3(n)^3+1/2(n)²+1/6n je dois prouver cette conjecture par recurrence .
    Sachant que s(n+1)=1/3(n+1)^3+1/2(n+1)²+1/6(n+1)
    je dois deriver s(n) mais en la dérivant je ne trouve pas s(n+1)=s(n)
    je trouve s'(n)=n²+n+1/6 si vous pouviez m'aider merci d'avance !



  • Bonjour,

    Très confus tout ça !

    Je te suggère de nous donner ton énoncé entier ( donne la propriété que tu dois démontrer par récurrence )



  • n
    Sn=∑k²
    k=0
    On cherche s'il existe un polynome de degré 3, soit p(x)=ax^3+bx²+cx+d,exprimant cette somme ou ce volume:S(n)=P(n) pour tout entier naturel n supérieur ou égal a 1.Montrer que dans cette hypoyhèse on a:d=0 et a+b+c+d=1 .Toujours sous l'hypothèse que P existe bien ,montrer plus généralement que (a,b,c,d)est solution d'un système de 4 équations à quatres inconnues que l'on résoudra.Trouver P(x).(jusque l'à pas de problème je trouve (a,b,c,d) et P(x)=1/3(x)^3+1/2(x)²+1/6x))
    Ecrire la conjecture relative à Sn.Montrer cette conjecture par récurrence . voilà mon problème c'est ecrire le conjecture relative à Sn.Et la montrer par récurrence .
    Merci d'avance



  • En bref , il faut que tu démontres par récurrence que , pour n supérieur ou égal à 1 :

    $\text{\fbox{s_n=\bigsum_{k=0}^{k=n}k^2=\frac{1}{3}n^3+\frac{1}{2}n^2+\frac{1}{6}n}$

    Je t'indique la marche à suivre :

    a)Initialisation pour n=1

    Tu vérifies que

    $\text{s_n=\bigsum_{k=0}^{k=1}k^2=\frac{1}{3}1^3+\frac{1}{2}1^2+\frac{1}{6}1$

    b) Transmission ( on dit aussi hétédité )

    Hypothèse à un ordre n ( n≥ 1) :

    $\text{s_n=\bigsum_{k=0}^{k=1}k^2=\frac{1}{3}n^3+\frac{1}{2}n^2+\frac{1}{6}n$

    Avec cette hypothèse , conclusion à démontrer à l'ordre (n+1) :

    $\text{s_{n+1}=\bigsum_{k=0}^{k=n+1}k^2=\frac{1}{3}(n+1)^3+\frac{1}{2}(n+1)^2+\frac{1}{6}(n+1)$

    DEMONSTRATION:

    $\text{s_{n+1}=\bigsum_{k=0}^{k=n+1}k^2=\bigsum_{k=0}^{k=n}+(n+1)^2$

    $\text{s_{n+1}=s(n)+(n+1)^2$

    Tu remplaces S(n) par $\text{\frac{1}{3}n^3+\frac{1}{2}n^2+\frac{1}{6}n$ , tu ajoutes $\text{(n+1)^2$ et après calculs , tu dois trouver $\text{\frac{1}{3}(n+1)^3+\frac{1}{2}(n+1)^2+\frac{1}{6}(n+1)$

    Bons calculs .



  • mtschoon

    DEMONSTRATION:

    $\text{s_{n+1}=\bigsum_{k=0}^{k=n+1}k^2=\bigsum_{k=0}^{k=n}+(n+1)^2$

    $\text{s_{n+1}=s(n)+(n+1)^2$

    Tu remplaces S(n) par $\text{\frac{1}{3}n^3+\frac{1}{2}n^2+\frac{1}{6}n$ , tu ajoutes $\text{(n+1)^2$ et après calculs , tu dois trouver $\text{\frac{1}{3}(n+1)^3+\frac{1}{2}(n+1)^2+\frac{1}{6}(n+1)$

    Bons calculs .

    oui mais en remplacant s(n) par $\text{\frac{1}{3}n^3+\frac{1}{2}n^2+\frac{1}{6}n$ et en lui ajoutant (n+1)² je n'ai toujours pas trouver !Donc si vous pouviez me dire par ou commencer



  • Le plus simple peut-être consiste à développer séparemment les deux expressions en les mettant sous forme de polynomes réduits et ordonnés suivant les puissances décroissantes de n :

    Tu dois trouver le même polynome ( $\text{{\frac{1}{3}n^3+\frac{3}{2}n^2+\frac{13}{6}n+1$ )


 

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