Analyse, entraînement pour le partiel

[habbo]

Bonjour, je suis nouvelle et j'ai quelques soucis en analyse, j'aimerai que vous m'aidiez à comprendre quelques points sur l'analyse tel que la parité ou l'imparité, les dérivées etc s'il vous plait, afin que je puisse réussir mon partiel. Mercii =)!

Exercice :

Soit f, la fonction définie par l'application suivante :
x→ f(x)= 3x²-4 / (x-2)²(x+1)

1. Déterminez l'ensemble de définition de f.
2. f est-elle paire ? impaire ? déterminez l'ensemble d'étude de f.
3. a) Etudiez la continuité de f.
   b) f est-elle prolongeable par continuité en -1? en 2?
4. Etudiez les limites et asymptotes sur l'ensemble d'étude.
5. a) Etudiez la dérivabilité de f.
   b) Calculez la dérivée première de f'.
6. Construisez le tableau de variation de f sur son ensemble de définition.
7. Représentez graphiquement la fonction.

Mes réponses :

1. On pose (x-2)²(x+1) ≠ 0 on a donc Df = $mathbbR$ - {-1;2}

2. Pour que f(x) soit paire il faut que f(-x) = f(x) et si f(-x) = - f(x) alors la fonction est impaire.
   J'ai trouvé f(-x) = - f(x) donc la fonction est impaire.
   Mais voilà tous mes problèmes commencent je ne sais pas comment trouver le domaine d'étude ... :frowning2:

3. a) f(x) est continue sur l'intervalle ]-∞;-1[U]2;+∞[
   b) Pour montrer que f est prolongeable il faut trouver la limite en -1 et en 2 ? Ou il faut faire autre chose ?

4. Lim f(x) = +∞/-∞ , c'est donc une forme indéterminée mais je suis bloquée
   x→-∞
   parce que je ne sais pas comment faire après.

Lim f(x) = +∞/+∞, pareil je suis bloquée
x→+∞

Lim f(x) = - 1/10
x→ -1

Lim f(x) = 8/11
x→ 2

Pour les 2 dérnières limites, on a 2 asymptotes verticable en x = -1 et x = 2.

5. a) f est dérivable en tout point sur ]-∞;-1[U]2;+∞[
   On a ici f = U/V donc f'= U'V-UV'/ V²
   Ce qui nous donne f'(x) = (6x²+56x) / (x-2)²(x+1)
   avec f'(x) non définie pour x = -1 et 2 et s'annulant pour 6x²+56x = 0
   b)On pose alors : g (x) = 6x² + 56x
   g'(x) = 12x + 56

Voilà tout ce que j'ai réussi à faire, surment avec plein d'erreur. J'espère que vous m'aideriez a résoudre ce problème. Merci d'avance =))).

[Zauctore]

Salut

C'est

$x\mapsto f(x)=\frac{3x^2-4}{(x-2{)}^2(x+1)}$

ou bien

$x\mapsto f(x)=3x^2-\frac{4}{(x-2{)}^2(x+1)}$ ?

Je penche pour la 2e forme, mais comme tu n'as pas mis de parenthèses...

[habbo]

Ah oui désolée, dans le fascicule, il y a écrit :

$x\mapsto f(x)=\frac{3x^2-4}{(x-2{)}^2(x+1)}$

[mtschoon]

Bonjour,

Je regarde le début de tes réponses.

OK pour l'ensemble de définition : R-{-1,2}=]-∞,-1[ U ]-1,2[ U ]2,+∞[

f n'est ni paire ni impaire ( prends des exemples pour t'en convaincre )

( f ne peut être ni paire ni impaire puisque l'ensemble de définition n'est pas symétrique par rapport à 0 : f(2) n'existe pas alors que f(-2) existe ; f(-1) n'existe pas alors que f(1) existe )

L'ensemble d'étude de fest donc l'ensemble de définition , c'est à dire R-{-1,2}

f est continue sur ]-∞,-1[ , sur ]2,+∞[ mais aussisur ]-1,2[( comme quotient de fonctions continues , avec dénominateur non nul )

f serait prolongeable par continuité en -1 si la limite à gauche ( en -1) était égale à la limite à droite ( en -1)
Même démarche en +2

*Essaie de revoir cela et poursuivre (toutes tes limites sont à refaire

Pour la dérivabilité , tu oublies encore l'intervalle ]-1,2[

Il faut aussi recompter ta dérivée )*

[habbo]

Mercii

Alors, j'ai réussi avec des exemples à comprendre pourquoi la fonction n'est ni paire, ni impaire

Par contre j'ai essayé de faire et comprendre avec différent cours de trouver les limites à gauche et à droite de -1 et +2 mais je trouve pour les 4 cas, +∞, ce qui signifierait que la fonction est prolongeable en -1 et 2 ?

4. Lim f(x) = (3x²-4)/[(x-2)²(x+1)] = ∞/∞
   x→-∞
   Il s'agit donc d'une forme indéterminée, pour la lever j'ai fait :
   Lim (3x²-4)/[(x²-4)(x+1)], j'ai supprimé les x²-4 en haut et en bas et
   x→-∞
   j'ai trouvé 0.

Même chose pour Lim f(x) , je trouve aussi 0.
x→+∞

Ensuite pour Lim f(x), j'ai trouvé 1/10
x→-1

Et pour Lim f(x), j'ai trouvé 8/2s, donc 1/3
x→2

Pour les limites en - et + ∞, on a des asymptotes horizontale d'équation y=0 .

Ai-je fait encore des erreurs ?
(Désolée, je suis nulle en math :frowning2: )

5. a) f est dérivable en tout point sur ]-∞;-1[U]-1;2[U]2;+∞[
   En recalculant la dérivée de f(x) j'ai trouvé cette fois ci :
   f'(x) = (-3x^4 + 24x² + 32x + 16) / [(x-2)²(x+1)]²
   Avec pour x ≠ -1 et 2 au dénominateur
   et s'annulant pour -3x^4 + 24x² + 32x + 16 = 0

b) On pose g(x) = -3x^4 + 24x² + 32x + 16
donc g'(x) = -12x³ + 48x + 32

[mtschoon]

OK pour tes limites à +∞ et -∞ et l'asymptote horizontale.

Lorsque x tend vers -1 et lorque x tend vers 2 , tes limites sont fausses.*

Par exemple :

Lorque x tend vers -1 par valeurs inférieures à -1:

(3x²-4) tend vers**-1**
(x-2)² tend vers 9
(x+1) tent vers $0^{-}$
Donc (x-2)²(x+1) tend vers 0^-$

Conclusion : f(x) tend vers +∞ :

$\text{\fbox{\lim_{x\to 0^-}f(x) =+\infty}$

Lorque tu auras compris , tu traites les autres cas.