Probabilités et sommes

[emtec]

Bonjour à tous,

J'ai un petit exo de proba. qui me pose problème. Le voici :

n ∈ $mathbbN$*, et λ est un réel strictement positif.

1. j,k désignent des entiers naturels, Ak,j des réels tel que pour tout j, la série de terme général Ak,j converge. Montrer que :
   ∑ ( de k allant de 0 à +∞) ∑ Ak,j ( j allant de 0 à n) est égale à ∑ ( de j allant de 0 à n) ∑ Ak,j ( k allant de 0 à +∞).

2.On considère une variable aléatoire X prenant ses valeurs dans $mathbbN$ telle que pour tout k ∈ $mathbbN$, l'évènement (X=k) est possible et S une variable aléatoire à valeurs dans $mathbbN$. Pour tout k ∈ $mathbbN$, on définit l'espérance conditionnelle de S sachant (X=k) par :
E(S / (X=k) ) = ∑ j P sachant(X=k) (S=j) (j allant de 0 à n).

Montrer que si S admet une espérance alors :
E(S) = ∑ E(S / (X=k) P(X=k) pour k allant de 0 à +∞.

Je voie sien qu'il faut utiliser la question 1 pour faire la 2, mais je ne voie pas comment. Je ne comprend pas non plus comment démontrer l'égalité demandée à la question 1.

Quelques pistes pour me débloquer ?

Merci d'avance à tous.