Jeu d'urne, probabilités, esperance!

Merci de venir sur mon topique et bonjour à tous!
Voilà j'aimerai savoir si un joueur jouant à ce jeu est gagnant ou non face à la banque:

"La banque présente une urne au joueur contenant une boule rouge et une boule noir.

premier cas de figure: si la première boule tirée est rouge alors le joueur a gagné 2e (mais ne fait qu'un bénéfice de 1e car il a misé 1e pour jouer) et il replace la boule rouge dans l'urne.

deuxième cas: Si la première boule tirée est noir alors le joueur a perdu sa mise de 1e (il espérait gagner 2e et donc faire un bénéfice de 1e (comme produit dans le premier cas)), et il replace la boule noir dans l'urne en rajoutant dans cette même urne 2 autres boules noirs (il y a maintenant 4 boules en tout: 3 noirs et 1 rouge). Si la deuxième boule tirée est encore noir alors le joueur a de nouveau perdu 1e (sa perte totale est maintenant de 2e, il espérait ici gagner 4e donc espérait faire un bénéfice totale de 2e), il doit replacer la boule noire dans l'urne et rajouter à nouveau 2 autres boules noirs ( désormais il y a 6 boules en totalité dans l'urne: 1 rouge pour 5 noirs)...
Le joueur continuera ainsi de placer 2 noirs dans l'urne tant qu'il tirera des noirs mais à l'instant où il aura trouver une rouge on remettra l'urne à son niveau initial c'est-à-dire 1 noir et 1 rouge."

Voici une autre version de ce jeu:
"J'ai une pièce de monnaie en main et mise un euro sur le pile puis lance la pièce. Si pile tombe je gagne 2e (bénéfice net 1e, c'est-à-dire que je double) mais si face tombe je perds ma mise de 1e et lance maintenant un dé à 4 faces en misant à nouveau 1e. Si le "1" sort je gagne 4e (bénéfice net de 2e puisque j'ai perdu 1e au premier tour et je viens de miser 1e à ce second tour) mais si le "2", "3" ou "4" sort alors je perd 1e. Je lance maintenant un dé à 6 faces..."

Partons du principe que cette urne peut contenir au maximum 20 boules donc le joueur peut enchainer 10 coups perdant de suite avant d'être stoppé par la banque. Si le joueur perd en effet 10 coups de suite alors l'urne doit être mise au niveau initial (1 rouge et 1 noir. C'est seulement en cas de gain dans les $n≤10n\leq10$ coups (n inférieur ou égal à 10 coups) ou dans un enchainement de 10 coups perdant que l'urne est remise au niveau initial. Par exemple, si le joueur perd au 3eme coup quand il avait 5/6 de perdre puisque 5 noirs et 1 rouge et bien il doit (en principe) remettre la boule noir dans l'urne et rajouter 2 autres boules noirs si il veut continuer à jouer (on peut modifier ce principe dans le cas où cela serait bénéfique au joueur mais pour l'instant je m'en tiens à cela). La mise ,elle, reste toujours de 1e! Que l'on soit au premier comme au 9eme ou 10ème coup!

L'espérance de gain au premier coup est donc (1/2)x1=1/2 tout comme l'espérance de perte au premier coup est (1/2)x1=1/2. Est-ce exact? Ainsi l'espérance total au premier coup est nul.
L'espérance de gain au 2eme coup est (1/4)x2=1/2 et l'espérance de perte au 2eme coup est (3/4)x1=3/4. L'espérance total au 2eme coup est donc (1/2)-(3/4)=-1/4. Par la même méthode je trouve que l'espérance total au 3eme coup est -1/3. Au 4eme coup, l'espérance total serait -3/8. Au 5eme coup, l'espérance total serait -2/5. Au 6eme coup, l'espérance total serait -5/12. Au 7eme coup, l'espérance total serait -6/14. Au 8eme coup, l'espérance total serait -7/16. Au 9eme coup, l'espérance total serait -8/18. Au 10eme coup, l'espérance total serait -9/20.
En sommant l'ensemble des espérances totales cela donne 0-1/4-1/3-3/8-2/5-5/12-6/14-7/16-8/18-9/20= -3.54 (arrondi au centième). Ainsi en 10 coups l'espérance de gain serait négatives. On perdrait environ 3.54e tous les 10 coups c'est bien ça?

Autre manière de tourner le problème:
La probabilité de tirer une noire au premier tour est 1/2. La probabilité de tirer une noire au second tour est 3/4. Au troisième tour c'est 5/6 ...
D'où, la probabilité de tirer une noire au n-ième tour est 1-1/2n. Le bénéfice touché par le joueur au n-ième tour si il trouve une rouge est de n pour une mise de n.

La probabilité de n'avoir tiré que des boules noires sur n tours est:
$∏i=1n(1−12i)\prod_{i=1}^{n}(1-\frac{1}{2i})$

D'où proba de tiré au moins une rouge: $1−∏i=1n(1−12i)1-\prod_{i=1}^{n}(1-\frac{1}{2i})$

Pouvant être simplifier par: 1 - [ factoriel (2n) / ( (factoriel (n)) ^ 2 x 2 ^(2n) ) ]
Pour n=10 on obtient environ 82% de chance de gagner (82% de chance de trouver une rouge en 10 coups).

J'en déduis donc que dans 18% des cas le joueur perdra 10e (puisque 10 coups perdant de suite à 1e par coups) et dans 82% des cas on gagnera x euros. Ce x serait une moyenne des gains empochée lorsque je gagne dans les 10 premiers coups. Je me suis donc dis qu'il me faudrait trouver une sorte de "moyenne" des proba? Par exemple pour les 5 premiers coups on a les probas suivantes: 1/2 puis 1/4 puis 1/6 puis 1/8 puis 1/10, il faudrait donc faire si c'est possible une moyenne de ces proba afin d'avoir 5 évènements équiprobables qui soient dans leur ensemble "identique" à ces 5 coups ci (1/2 puis 1/4 puis 1/6 puis 1/8 puis 1/10)?

Par exemple au lieu d'avoir 1/2 puis 1/4 puis 1/6 puis 1/8 puis 1/10 on aurait 1/X puis 1/X puis 1/X puis 1/X puis 1/X.

Il me semble que ce X est obtenu comme ceci: X^-n=
$∏i=1n(1−12i)\prod_{i=1}^{n}(1-\frac{1}{2i})$ ou 1/X= $∏i=1n(1−12i)\prod_{i=1}^{n}(1-\frac{1}{2i})$

Soit X^-n=0.176... (tronquée au millième)
Donc pour n=10; 1.1896^-10= 0.176... (tronquée au millième)
et 1.1896^10= 5.68 (arrondie au centième)

Ainsi en moyenne je gagnerai au coup qui a 1/5.68 de chance de gagner. Soit entre le 2eme et le 3eme coup. Cela semble cohérent puisque le 1e, 2eme ou 3eme coup est bien + probable que le 4eme, 5eme, 6eme... coup donc que la moyenne soit plus dans les premiers coups que dans les derniers...
Mais pourtant! Si dans 82% des cas je gagnerai en moyenne au coups qui a pour proba 1/5.68 donc je gagnerai 2.84 en moyenne (car le probable gain du coup est toujours égal à la moitié du dénominateur de la proba que ce gain se réalise par exemple au 1e coup la proba est 1/2 donc le dénominateur est 2 donc le gain est la moitié du dénominateur soit 1) et si je perd dans 18% des cas en moyenne (c'est-à-dire que dans 18% des cas je perdrai les 10 premiers coups) alors je perdrai 10e.
Espérance= Proba de gain x gain - proba de perdre x perte
= 0.82 x 2.84 - 0.18 x 10
= 0.5288

Ici l'espérance total à ce jeu est positive!
Autre chose, lorsque je fais $∏i=1n(1−11.189610)\prod_{i=1}^{n}(1-\frac{1}{1.1896^10})$ j'obtiens pour n=10 la valeur 0.14 (arrondi au centième) or je m'attendais à obtenir quelque chose comme 0.18 puisque $∏i=1n(1−11.189610)\prod_{i=1}^{n}(1-\frac{1}{1.1896^10})$ devrait être la même chose que $∏i=1n(1−12i)\prod_{i=1}^{n}(1-\frac{1}{2i})$ pour n=10 bien sur!
Est-ce que cette différence entre 0.14 et 0.18 est causé par le fait que 1.1896^10 n'est pas une valeur exacte? Et donc que les résultats sont approximatifs? Ou alors mon raisonnement est-il faux?

Je suis confus
Merci d'avance de m'éclairer
Ps: il m'arrive parfois de dire "on" au lieu de dire "le joueur" par exemple "on gagnera" alors que je veux dire "le joueur gagnera" voilà ne soyez pas confus! ^^

Bonjour,

Je n'ai pas lu ce long texte, mais il me parait avoir déjà été écrit en 2011 et une discussion a suivi.

Pour consultation, je te mets un lien

http://forums.futura-sciences.com/mathematiques-superieur/489625-probabilites-urnes-esperance.html