Structure

Bonjour à tous,
Je viens de commencer une prépa MPSI et je suis déjà confronté à un exercice que je n'arrive pas à résoudre ...
Voici l'énoncé :
Soit E un ensemble
Démontrons que (P(E),différence symétrique) est un groupe commutatif .

Tout d'abord désolé, je n'ai pas trouvé le signe de la différence symétrique, elle se symbolise normalement par un petit triangle.

Je sais que pour prouver que ceci est un groupe, il faut tout d'abord que je prouve l'associativité, l'existence d'un élément neutre et l'existence de symétrique .
Je commence donc par l'associativité (le plus dur à ce qu'on m'a dit )

1-Associativité:
Il faut prouver que ∀(x,y,z)∈E³ : (x diffsym y) diffsym z = x diffsym (y diffsym z)
donc je pars de sa :
(x diffsym y) diffsym z = ( (x∪y)(x∩y) ) diffsym z

Et voila je sais pas trop comment procéder par la suite, il doit me manquer quelques notions utiles ....

Merci d'avance pour votre aide

Médé

Bonjour,
Attention : x,y,z , dans ce que tu écris, sont des éléments de P(E), pas de E.
Par contre, dans ce qui suit, A,B,C ... sont des éléments de P(E) et x,y, ... sont des éléments de E.

Commence par bien préciser ce que signifie x∈ A Δ B :
x∈ A Δ B ⇔ (x∈A et x∉ B) ou (x∉A et x∈B)
Mais tu auras besoin aussi de la négation de ce qui précède : je te laisse donner ta réponse :
x∉A Δ B ⇔ ...

x∉AΔB= (x∉A ou x∈B) et (x∈A ou x∉B)

C'est bien sa ?

Oui, mais tu peux simplifier en distribuant ( "et" est distributif sur "ou", et d'ailleurs inversement ).
Si ça ne te plait pas d'utiliser les éléments, tu peux utiliser directement les sous-ensembles : c'est encore plus simple :

A Δ B = (A ∩ B') ∪ (A' ∩ B) , en notant A' le complémentaire de A dans E et B' celui de B.
Tu peux ainsi "calculer" (A Δ B) Δ C. Le résultat est tellement simple que l'associativité devient évidente et qu'il n'est même plus utile alors de calculer A Δ (B Δ C).
Un conseil : tu peux faire un petit schéma.

Donc je pars de A Δ B = (A ∩ B') ∪ (A' ∩ B)
Et je fais (A Δ B)Δ C= ((A ∩ B') ∪ (A' ∩ B))Δ C =((AnB')u(A'nB)nC) u (Cn((A'uB)n(AnB')))

Je vois pas comment arriver à A Δ (B Δ C) à partir de cette égalité

Tu t'es trompé dès le départ :
Citation
((AnB')u(A'nB)nC) u (Cn((A'uB)n(AnB')))
C'est ((AnB')u(A'nB)nC') u (Cn((A'uB)n(AuB')))
Et maintenant continue : distribue.

Je distribue: (C'n(A'nB) u C'n(AnB')) u (Cn(A'uB) n (Cn(AuB'))

Oui, mais continue : développe aussi (Cn(A'uB) n (Cn(AuB'))

(C'n(A'nB) u C'n(AnB')) u (( (CnA')u(CnB) )n( (CnA)u(CnB)))

Mais continue donc.
Développe l'intersection en gras
(C'n(A'nB) u C'n(AnB')) u (( (CnA')u(CnB) )n( (CnA)u(CnB)))