( fonction , dériver et innéquation )



  • Bonjour à toutes et à tous !

    Premier exercice

    on a la fonction f definie sur [0 ; 1]
    par f(x) = x / (1+x)²

    1 etuder le sens de variation et dresser le tableau de variation

    j'ai fait :
    dabord je calcule la dérivée
    f(x) est de la forme u/v donc (u'v-uv')/v²
    jai trouver 1/(x+1)²

    puis j'ai etudier 1 et (x+1)²
    1 est positif
    et un carré est toujours positif donc la fonction est croissante

    la valeur interdite est -1 mais n'appartient pas a au domaine de definition de f
    donc mon tableau

    x...... 0.......1......
    f '(x) +
    f croiss 0.5 f(0)=0 et f(1)= 0.5
    0 ante

    démontrer que si 0<= x <= 1/10 alors 0 <= f(x) <= 1/11

    ça je n'ai pas réussi je pense qu'il faut faire le théoreme des gendarmes

    [B]Autre exercice : achat d'essence[/B]

    le prix d'un litre d'essence = p (en euros)

    1. quel est le volume v1v_1 du carburant acheté pour 100 euro ?

    Alors, j'ai fait :
    pfoi/v1pfoi/v_1 = 100 euro
    v1v_1 = 100/p

    1. quel est le volume v2v_2 si le prix du L d'essence a augmenté de 25% par rapport à p ?

    j'ai fait
    p(1+(25/100))v2p(1+(25/100))v_2 = 100
    1.25pfoi/v225pfoi/v_2 = 100
    v2v_2 = 100/1.25p

    1. ensuite plus généralemnt demontrer que si le prix augmente de t% alors le volume baisse de N%

    n =(100t/100+t)

    1. on pose x= t/100 et y = n/100. exprimer y en fonction de x

    jai fait :
    x a = y ( a est mon inconnue)
    a = y/x

    donc
    ( t/(100+t)) 100/t = 100t/(t(100+t)) =
    100/(100+t)

    donc t/100*100/(100+t) = 100t / (100(100+t))

    1. on suppose que l'augmentation du prix du litre de carburant est inférieur a 10% c'est-à-dire 05foi/50.1
      a-t-on raison de dire que la diminution du volume de carburant acheté en resultant est inférieur a 10% ?
      justifier.

    la je ni suis pas arrivé

    voila j'espere avoir été assez clair
    merci d'avance
    et bon long week end

    J'ai essayé de rendre ce post plus lisible... (N. d. Z.)



  • Salut.
    Pour ton premier exercice, la dérivée est
    f '(x) = (1-x²) / (1+x) 4^4 > 0 pour tout 0 <= x <= 1.
    La fonction f est croissante entre 0 et 1, en particulier entre 0 et 1/10 = 0,1
    on a donc
    f(0) <= f(x) <= f(1)
    or f(0) = 0
    et f(0,1) = 0,1/(1+0,1) = 0,1/1,1 = 1/11.



  • Remarque : le "théorème des gendarmes" concerne les limites.
    Hors de propos ici.


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