Sous groupe engendré

[stella54]

Bonjour,
je doit montrer les equivalences suivantes:

Soit G un groupe et S⊂G

1)< S > est l'intersection de tous les sous groupes de G contenant S.
2)< S >est le plus petit sous groupe de G contenant S
3)< S >$={s$_1$^{ε$1}$s$_2${}^{\epsilon 2}$...$s$_r${}^{\epsilon r}$ |r∈$mathbbN$,$s_1$...$s_n$∈S,ε1,...,εr=±1}

J'ai fais

Montrons 1 est equivalent a 2

Soit < S > l'intersection de tous les sous groupes de G contenant S.
on sait que l'intersection d'une famille de sous groupe de G contenant S est un sous groupe, donc < S > est un sous groupe de G
S est contenu dans tous les sous groupe qui le contiennent
donc S est contenu dans < S >.
< S > est donc lui même un sous groupe de S.
C'est le plus petit, par l'inclusion puisqu'il est contenu dans tous les sous groupes contenant S

Apres je ne voit pas comment faire les autres équivalence

Merci d'avance pour votre aide

[mathtous]

Bonjour,
Tu peux regarder ici ; groupes finis.
L'article n'est pas terminé, mais il te suffit de regarder la chapitre 2.

[stella54]

stella54
Bonjour,
je doit montrer les equivalences suivantes:

Soit G un groupe et S⊂G

1)< S > est l'intersection de tous les sous groupes de G contenant S.
2)< S >est le plus petit sous groupe de G contenant S
3)< S >$={s$_1$^{ε$1}$s$_2${}^{\epsilon 2}$...$s$_r${}^{\epsilon r}$ |r∈$mathbbN$,$s_1$...$s_n$∈S,ε1,...,εr=±1}

J'ai fais

Montrons 1 est equivalent a 2

Soit < S > l'intersection de tous les sous groupes de G contenant S.
on sait que l'intersection d'une famille de sous groupe de G contenant S est un sous groupe, donc < S > est un sous groupe de G
S est contenu dans tous les sous groupe qui le contiennent
donc S est contenu dans < S >.
< S > est donc lui même un sous groupe de S.
C'est le plus petit, par l'inclusion puisqu'il est contenu dans tous les sous groupes contenant S

Apres je ne voit pas comment faire les autres équivalence

Merci d'avance pour votre aide

Ensuite je montre 3 est equivalent à 1

Montrons que $H={s$_1$^{ε$1}$s$_2${}^{\epsilon 2}$...$s$_r${}^{\epsilon r}$ |r∈$mathbbN$,$s_1$...$s_n$∈S,ε1,...,εr=±1} est un sous groupe contenant S
soit a∈S (S non vide)
alors a∈H (n=1) et par conséquent H est non vide et contient S.
Soit $x=s_1$...$s_n$∈S et y=s'${}_1$...s'${}_m$∈S
Alors $xy$^{-1}$=s_1$...$s_n$s'$$_m$^{-1}$...s^{\prime }$${}_1$^{-1}$∈H
d'ou < S >est un sous groupe contenant S
< S > étant le plus petit sous groupe de G contenant S, < S >⊂H
Montrons que H⊂< S >

Soit $x=s_1$...$s_n$∈H Alors tous le si ∈< S >
puisque < S > contient S
Si $s{i}^{-1}$ ∈S alors $s{i}^{-1}$ ∈< S >
Mais < S > est un sous groupe
donc $(si$^{-1}${)}^{-1}$=si∈< S > donc tous le si ∈< S >
Comme < S > est un sous groupe, on en déduit que $x=s_1$...$s_n$∈H
H⊂< S >
donc H=< S >