Sous groupe engendré


  • S

    Bonjour,
    je doit montrer les equivalences suivantes:

    Soit G un groupe et S⊂G

    1)< S > est l'intersection de tous les sous groupes de G contenant S.
    2)< S >est le plus petit sous groupe de G contenant S
    3)< S >$={s$_1$^{ε$1}sss_2ε2^{ε2}ε2...sss_rεr^{εr}εr |r∈mathbbNmathbb{N}mathbbN,s1s_1s1...sns_nsn∈S,ε1,...,εr=±1}

    J'ai fais

    Montrons 1 est equivalent a 2

    Soit < S > l'intersection de tous les sous groupes de G contenant S.
    on sait que l'intersection d'une famille de sous groupe de G contenant S est un sous groupe, donc < S > est un sous groupe de G
    S est contenu dans tous les sous groupe qui le contiennent
    donc S est contenu dans < S >.
    < S > est donc lui même un sous groupe de S.
    C'est le plus petit, par l'inclusion puisqu'il est contenu dans tous les sous groupes contenant S

    Apres je ne voit pas comment faire les autres équivalence

    Merci d'avance pour votre aide


  • M

    Bonjour,
    Tu peux regarder ici ; groupes finis.
    L'article n'est pas terminé, mais il te suffit de regarder la chapitre 2.


  • S

    stella54
    Bonjour,
    je doit montrer les equivalences suivantes:

    Soit G un groupe et S⊂G

    1)< S > est l'intersection de tous les sous groupes de G contenant S.
    2)< S >est le plus petit sous groupe de G contenant S
    3)< S >$={s$_1$^{ε$1}sss_2ε2^{ε2}ε2...sss_rεr^{εr}εr |r∈mathbbNmathbb{N}mathbbN,s1s_1s1...sns_nsn∈S,ε1,...,εr=±1}

    J'ai fais

    Montrons 1 est equivalent a 2

    Soit < S > l'intersection de tous les sous groupes de G contenant S.
    on sait que l'intersection d'une famille de sous groupe de G contenant S est un sous groupe, donc < S > est un sous groupe de G
    S est contenu dans tous les sous groupe qui le contiennent
    donc S est contenu dans < S >.
    < S > est donc lui même un sous groupe de S.
    C'est le plus petit, par l'inclusion puisqu'il est contenu dans tous les sous groupes contenant S

    Apres je ne voit pas comment faire les autres équivalence

    Merci d'avance pour votre aide

    Ensuite je montre 3 est equivalent à 1

    Montrons que $H={s$_1$^{ε$1}sss_2ε2^{ε2}ε2...sss_rεr^{εr}εr |r∈mathbbNmathbb{N}mathbbN,s1s_1s1...sns_nsn∈S,ε1,...,εr=±1} est un sous groupe contenant S
    soit a∈S (S non vide)
    alors a∈H (n=1) et par conséquent H est non vide et contient S.
    Soit x=s1x=s_1x=s1...sns_nsn∈S et y=s'1_11...s'm_mm∈S
    Alors xyxyxy^{-1}=s1=s_1=s1...sns_nsns'$$_m$^{-1}...s′...s'...s1_11^{-1}$∈H
    d'ou < S >est un sous groupe contenant S
    < S > étant le plus petit sous groupe de G contenant S, < S >⊂H
    Montrons que H⊂< S >

    Soit x=s1x=s_1x=s1...sns_nsn∈H Alors tous le si ∈< S >
    puisque < S > contient S
    Si si−1si^{-1}si1 ∈S alors si−1si^{-1}si1 ∈< S >
    Mais < S > est un sous groupe
    donc (si(si(si^{-1})−1)^{-1})1=si∈< S > donc tous le si ∈< S >
    Comme < S > est un sous groupe, on en déduit que x=s1x=s_1x=s1...sns_nsn∈H
    H⊂< S >
    donc H=< S >


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