3. Division harmonique

Division harmonique

  • M

    Bonjour à tous !
    Je bloque sur sur cette exercice, si vous pouviez me donner une petite piste pour que je puisse continuer :
    Citation
    Soient trois points a,b,c non alignés, un quatrième point d appartenant à la droite (bc) mais pas aux droites (ab) et (ac) .
    A tout point m de la droite (ab), distinct de a et de b nous associons le point m', intersection des droites (dm) et (ac). Appelons n le point d'intersection des doites (bm') et (cm).
    Posons m=(xa+b)/(x+1) , m'=(x'a+c)/(x+1), d=(δa+b)(δ+1) et n=αa+βb+ϒc
    1-Notons hp ou h'p une homothétie de centre p. Ainsi :
    -ha est l'homothétie de centre a telle que ha(b)=m;
    -hn: m->c;
    h'a: c->m';
    h'n: m'->c;
    Démontrer que hn o ha et h'n o h'a sont des homothétie de même centre ω ou des translations.
    2- Calculer α,β,ϒ en fonction de x,δ,ϒ.
    3- En déduire que ω ne dépend pas du point m de (ab)/{a,b}
    Par définition, les points [ω,d,b,c] forment une division harmonique
    4-Deux doites D et D' ont un point d'intersection ω en dehors de la feuille. Donner , pour tout point m n'appartenant pas à ces droites, une méthode pour tracer la partie du segment [ω,m] sur la feuille à l'aide d'une règle aussi longue que l'on voudra (et d'un crayon)
    Voila pour l'exercice, et voici ce que j'ai déjà cherché :

    1- h'n o h'a: b=kk'c- kk'a + ka -kn + n
    si kk'=1 alors h'n o h'a est une translation : b=(k-1)(a-n)+c
    si kk'≠1 alors h'n o h'a est une homothétie de la forme b= kk'c+(1-kk')ω
    avec w=(ka(1-k') +n(1-k))/(1-kk')
    hn o ha : c=kk'b- kk'a + ka -kn + n
    si kk'=1 alors hn o ha est une translation : c=(k-1)(a-n)+b
    si kk'≠1 alors hn o ha est une homothétie de la forme c= kk'b+(1-kk')ω
    avec w=(ka(1-k') +n(1-k))/(1-kk')

    2- C'est ici que je bloque,
    J'ai exprimer n en fonction des équation de droites (bm') et (cm) :
    n∈(bm') ssi n=b +t (m'-b) avec t un réel
    n∈(cm) ssi n= c +t'(m-c) avec t' un réel
    donc n= b-c+t(m'-b) -t'(m-c)=0
    on peut ensuite remplacer m' et m par leur expression :
    n= b-c+t((x'a+c)/(x+1) -b) -t'((xa+b)/(x+1) -c)=0
    on obtient :
    n= b(1-t+(t'/(x+1))) + c( t-1+(t/(x+1))) + a((tx'+t'x)/(x+1)) =0 = αa+βb+ϒc
    J'ai donc des expressions de α,β et ϒ mais pas en fonction des bonnes variables

    Voila donc si vous pouviez me donner une petite piste pour que je puisse continuer !

    Merci d'avance

    Meide

    M 1 réponse
  • M

    Personne n'a une petite idée pour m'aider ? 😕

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