Dénombrement : nombre de tirages possibles

[orlandopiaf]

On pose p et q 2 entiers non nuls

A) un bol contient p boules vertes et q boules violettes , toutes les boules sont indiscernables au toucher. On tire en même temps n boules, avec n ∈ $\left[1;p+q\right]$

1. Combien de tirages possibles ?

2. on suppose pour cette question p= 4 , q = 7 et n=6 . Ainsi combien de tirages contiennent exactement 3 boules vertes ?

3. en comptant de deux manières différentes le nombre de tirage possible , montrer que pour tout n ∈ $\left[1;p+q\right]$ , on a

$\begin{pmatrix} p+q\n \end{pmatrix} = \sum_{k=0}^{n}{} \begin{pmatrix} p\ k \end{pmatrix} \begin{pmatrix} q\ n-k \end{pmatrix}$

4. en choisissant p et q de façon adéquate, en déduire que

$\left(\begin{array}{c}2nn\end{array}\right)={\sum }_{k=0}^k\left(\begin{array}{c}nk\end{array}\right)$ ${}^2$

je pense avoir correctement répondu à la question A) 2) mais pour le reste je bloque vraiment. Merci d'avance pour votre aide !

[mtschoon]

Bonjour,

Piste pour la 3)

Le nombre de façons de choisir n boules parmi (p+q) est $\left(p+q\n\right)$

Tu décomposes ce total en (n+1) cas :

1er cas : nombre de façons de choisir les n boules parmi les q violettes : $\left(p\0\right)\times \left(q\n\right)$

2eme cas: nombre de façons de choisir une boule parmi les p vertes et (n-1) boules parmi les q violettes : $\left(p\1\right)\times \left(q\n-1\right)$

3eme cas: nombre de façons de choisir deux boules parmi les p vertes et (n-2) boules parmi les q violettes : $\left(p\2\right)\times \left(q\n-2\right)$

....

Tu continues et tu ajoutes : tu trouveras ainsi la somme écrite à droite dans l'égalité demandée , d'où la réponse.

[orlandopiaf]

merci de ta réponse, peux tu d'avantage détaillé ?

parce que dans l'énoncé il est indiqué de 2 façons différentes seulement, et la tu me proposes 3 cas, je suis perdus..

merci de m'aider !

[mtschoon]

Pour te mettre sur la voie sur la décompostion , je t'ai proposé les 3 premiers cas ( tu n'as pas vu les "...")
Et je t'ai indiqué qu'il y avait (n+1) cas .
J'ai écrit :
Citation
Tu continues et tu ajoutes : tu trouveras ainsi la somme écrite à droite dans l'égalité demandée , d'où la réponse

Pour te faire comprendre , je te fais le 4ème cas de la décomposition :

4eme cas: nombre de façons de choisir 3 boules parmi les p vertes et (n-3) boules parmi les q violettes
$\left(p\3\right)\times \left(q\n-3\right)$

Tu continues logiquement jusqu'au (n+1)ème cas où tu donnes le nombre de façons de choisir les n boules parmi les p vertes ( et 0 parmi les violettes )

En ajoutant ces (n+1) cas , tu obtiens la somme écrite au membre de droite de l'égalité. Cette somme est la SECONDE manière de compter.

La PREMIERE , c'est évidemment $\left(p+q\n\right)$

Bonne réflexion !

[orlandopiaf]

daccord et tu as des pistes de reflexions pour la derniére question ? merci beaucoup pour ton aide c'est super sympa !

[mtschoon]

Il te suffit d'appliquer la propriété que tu viens de démontrer dans la cas ou p=n et q=n ( et d'utiliser une propriété usuelle des combinaisons )