Theoreme de Cantor Bernstein

[zora93]

Bonjour à tous
Parmi les démonstrations du théorème de Cantor-Bernstein, il y en a une qui me pose des difficultés.
Soit A et B deux ensembles , f une injection de A dans B, et g une injection de B dans A.

1. On pose :
   $X_0$ = A\g(B)
   $X_1$ = $gof(X_0$)
   …
   $X_{i+1}$ = $gof(X_i$),
   X = U $X_i$
   X’ = A\X
   On définit φ de A dans B par :
   Si x ∈ X, φ(x) = f(x)
   Si x ∈ X’ : φ(x) = $g^{-1}$(x)
   Démontrer que φ est une bijection de A sur B : je sais le faire.

2. On fait de même dans l’autre sens :
   $Y_0$ = B\f(A)
   $Y_1$ = $fog(Y_0$)
   …
   $Y_{i+1}$ = $fog(Y_i$)
   Y = U $Y_i$
   Y’ = B\Y
   On définit de même Ψ de B dans A par :
   Si y ∈ Y, Ψ(y) = g(y)
   Si y ∈ Y’, Ψ(y) = $f^{-1}$(y)
   Ψ est une bijection de B sur A (démonstration analogue au 1))

3. Démontrer que Ψ o φ = $i{d}_A$ et que φ o Ψ = $i{d}_B$ ( c’est-à-dire que φ et Ψ sont réciproques l’une de l’autre).
   C’est cette question que je ne parviens pas à traiter.
   Si vous pouviez m’aider …
   Merci d’avance.