Avec tous ces sinus, comment ne pas s'enrhumer.

Bonjour à tous
Juste un petit calcul : le produit des sinus des angles de 5° en 5°, de 5° jusqu'à 175° :
P = sin 5° x sin 10° x sin 15° x sin 20° x …x sin 160° x sin 165° x sin 170° x sin 175°

Ne vous précipitez surtout pas sur vos calculatrices : elles vous donneraient seulement des valeurs approchées, plus ou moins précises selon la marque, mais elles ne vous donneront pas la valeur exacte.
Et je demande précisément la valeur exacte, soit sous forme de fraction irréductible, soit sous forme décimale mais avec tous les chiffres.

Bonjour,

Il est bien connu que la sinusite donne mal à la tête...c'est mon cas ! ( mais j'aime bien la trigo )

Après maintes transformations ( et un peu de chance car le suis tombée sur deux sin20° qui s'annulaient ) , ma réponse est :

$\frac{9}{2^{33}$

Ca me paraît juste, mais comment des sinus peuvent-ils s'annuler ? il s'agit d'un produit.
Sous forme décimale, ça fait 0,000000001047737896442413330078125 ( sauf faute de frappe ...)

Ma calculette me donne , en valeur approchée $1.04774.10^{-9}$ donc ça correspond.

Je te réponds à ta question sur les simplifications des sin20° ( J'ai transformé les produits en sommes ! )

En appelant A l'expression de départ , je suis arrivée à :

$\fbox{a=\frac{1}{2^{25}}(sin20.sin40.sin60.sin80)^2}$

En remplaçant sin60 par sa valeur :

$\fbox{a=\frac{3}{2^{27}}(sin20.sin40.sin80)^2}$

Je pose : $b=sin20.sin40.sin80\fbox{b=sin20.sin40.sin80}$

$b = s i n 20 (s i n 40 . s i n 80)$

$\frac{1}{2}(cos40-cos120)=sin20( \frac{1}{2}(cos40+\frac{1}{2})$

$b=12sin20cos40+14sin20b=\frac{1}{2}sin20cos40+\frac{1}{4}sin20$

$b=14sin60−14sin20+14sin20b=\frac{1}{4}sin60-\frac{1}{4}sin20+\frac{1}{4}sin20$

Donc : $\fbox{b=\frac{1}{4}sin60=\frac{\sqrt 3}{8}}$

En calculant B² et en remplaçant dans la dernière expression de A , j'obtiens le résultat proposé.

( Si tu veux , je pourrais taper tous les débuts de mes calculs où j'arrive à la première expression de A indiquée ici mais c'est très long... )

Non, non, je te fais confiance.
Personnellement, j'ai utilisé une autre méthode avec les exponentielles complexes.
Si tu veux je peux te la placer sur mon site : c'est en fichier pdf.

Produit de sinus

Je suis restée dans les réels avec angles supplémentaires , angles complémentaires , formule de duplication et transformation des produits de sinus en sommes , en bref "de la TRIGO pure"...

Je pourrais tout taper ici , si quelqu'un le souhaite.

C'est avec plaisir que je regarderai tes calculs avec les exponentielles complexes.

J'avais modifié mon post : le fichier (en pdf) est ici : clique sur le lien bleu :

Produit de sinus

Merci pour le lien.

Je viens de regarder.

$8589934592 =2^{33}$ donc nous aboutissons au même résultat.

Elle était très interessante ta question !

En fait, ce qui peut intéresser un élève c'est l'utilisation des racines nièmes de l'unité.

Oui , ou les formules usuelles de trigonométrie.

Cet exercice a de multiples facettes !

Exact, mais moi, les formules, il y a plusieurs siècles que je les ai oubliées ...

Oui , mais c'est comme le vélo...on ne l'oublie pas vraiment...

Comme j'ai un peu de temps , je tape la totalité de la version TRIGONOMETRIE de cet exercice.

$\fbox{\text{a=(sin5.sin10....sin85).sin90.(sin95....sin170.sin175)}$

$\text{sin90=1 donc : a=(sin5.sin10....sin85).(sin95....sin170.sin175)$

$\text{sinx=\sin(180-x) donc : a=(sin5.sin10.....sin85).(sin5.sin10...\sin85 ) \$

$\text{a=(sin5.sin10...\sin85)^2$

$\text{a=((sin5.sin10...sin40).sin45.(sin50... \sin 85)) ^2$

$\text{sin45=\frac{\sqrt 2}{2} donc a=\frac{1}{2}((sin5.sin10...sin40).(sin50...\sin 85 )) ^2$

$\text{cosx=sin(90-x) donc a=\frac{1}{2}((sin5.sin10...sin40).(cos40.cos35... \cos 5 )) ^2$

$\text{sinxcosx=\frac{1}{2}sin2x donc a=\frac{1}{2^{17}}(sin10.sin20....sin40.sin50...sin70.sin80)^2$

$\text{cosx=sin(90-x) donc a=\frac{1}{2^{17}}(sin10.sin20....sin40.cos40.cos30..cos10)^2$

$\text{sinxcosx=\frac{1}{2}sin2x donc \fbox{a=\frac{1}{2^{25}}(sin20.sin40.sin60.sin80)^2}$

$\text{sin60=\frac{\sqrt 3}{2} donc \fbox{a=\frac{3}{2^{27}}(sin20.sin40.sin80)^2}$

Je pose : $b=sin20.sin40.sin80\fbox{b=sin20.sin40.sin80}$

Avec les calculs précedemment écrits : $\fbox{b=\frac{\sqrt 3}{8}}$

$\text{b^2=\frac{3}{2^6 }$

CONCLUSION : $\text{a=\frac{3}{2^{27}} . \frac{3}{2^6}$

$\fbox{\text{a=\frac{9}{2^{33}}$

Eh oui. Impressionnant.

un gros morceau..... j'ais difficilement compris... espérons que cela soie vraiment comme du vélo.

mathtous
J'avais modifié mon post : le fichier (en pdf) est ici : clique sur le lien bleu :

Produit de sinus

la page n'existe plus... :frowning2:

Mais si, mais si ...

bizzare? quand je clique dessus je tombe sur un site de voitures......

Mais non, mais non.
Clique sur le lien bleu :

produit de sinus