Le sixième nombre de Fermat

[mathtous]

Bonjour à tous.
Voici un petit défi :

Sans calculer F5, et donc sans poser de division, démontrer que F5 = $2^{32}$ +1 est divisible par 641.

[mtschoon]

Bonjour,

Cette question me fait penser aux congruences.

Vu que 641 est premier , on le décompose en somme .

$641=16+625=2$^4$+5^4$

donc $<strong>2$^4$+5^4$≡ 0 [641] ( formule 1 )

641=1+640=1+10x64=1+5.128=1+5.$2^7$

donc 1+5.$2^7$ ≡ 0 [641] ( formule 2 )

$2$^{32}$=2^4$.$2$^{28}$=2^4$.$(2$^7${)}^4$

Vu la formule 1 : $2^{32}$ ≡ $-5^4$.$(2$^7${)}^4$ [641] donc $2^{32}$ ≡ -(5.$2$^7${)}^4$ [641]

Vu la formule 2 : $2^{32}$ ≡ $-(-1{)}^4$ [641]

donc :

$2^{32}$ ≡ -1 [641]

$<strong>2^{32}$ +1 ≡ 0 [641]

Conclusion : $<strong>2^{32}$ +1 multiple de 641

[mathtous]

Bonjour,
Oui, c'est aussi la méthode que je connais.
Sauf erreur de ma part, elle serait due à Euler.

[mtschoon]

Euler ? pourquoi pas ... Je l'ignore.

*J'ai pensé aux congruences car elles font partie du programme de Spécialité -Maths de TS ( j'ai déjà vu passer ce type d'exercice ). *

Il y a certainement d'autres solutions ! ...

[mathtous]

Fermat lui-même aurait pu démontrer que F5 n'est pas premier grâce à son petit théorème : en effet, s'il existe un entier a inférieur à p et tel que $a^{p-1}$ ne soit pas congru à 1 modulo p, alors p n'est pas premier : pour n = 5 , p - 1 = $2^{32}$, et il suffit de 32 élévations successives au carré ( modulo p ) pour calculer $a^{32}$.
On vérifie alors que a = 3 convient (témoin de Fermat).
Mais on n'a pas connaissance que Fermat fit cela puisqu'il pensait au contraire que tous " ses " nombres étaient premiers.