Théorème des segments emboités

[aida1807]

Bonjour,
Je rappelle l'énoncé du théorème:

Soit $(I$n$)</em>n\in N$ une suite d'intervalles
fermés bornés$I_n$ = $[a_n$, $b_b$] et emboités (c'est à dire $I_{n+1}$ ⊂ $I_n$ pour tout n∈N). Alors l'intersection des $I_n$ n'est pas vide. De plus, si $inf{b$_n$-a_n$; n∈N}=0, l'intersection des $E_n$ se réduit à un seul élément.

Quelqu'un sait-il pourquoi les intervalles $I_n$ doivent être fermés et bornés? Que se passe-t-il si ces deux conditions ne sont pas remplies?

Merci,
Aïda

[mathtous]

Bonjour,
Si un intervalle n'est pas borné, il est par exemple de la forme [a ; +∞[ (non borné à droite).
Observe les intervalles suivants :
[0 ; +∞[
[1 ; +∞[
[2 ; +∞[
...
Ils sont emboîtés. Quelle est leur intersection ?

[aida1807]

Bonjour mathous.
Désolée de ne répondre que maintenant, je n'ai pas vraiment eu l'occasion de me connecter ces derniers jours.

J'avais pensé au cas où les intervalles seraient de la forme [a ; +∞[. Je suppose que leur intersection est un intervalle semi-ouvert.
Bien sûr il est ecrit que
Citation
De plus, si inf{bn-an; n∈N}=0, l'intersection des En se réduit à un seul élément.
mais je n'ai pas l'impression qu'il s'agisse d'une condition pour que le théorème soit vérifié, mais que cela concerne seulement le cas particulier où inf{bn-an; n∈N}=0.

Ai-je encore mal compris? (étant étudiante pas correspondance, j'ai énormément de difficultés à assimiler les cours et les comprendre parfaitement...)
Merci,
Aïda

[mathtous]

Bonjour,
Pour les segments que je t'ai donnés, l'intersection n'est pas un intervalle semi-ouvert : elle est vide.
Pour des intervalles tu type [1 - 1/n ; +∞[, l'intersection est bien un intervalle semi-ouvert.
"De plus" permet une conclusion plus précise : non seulement l'intersection (des intervalles fermés bornés) est non vide, mais en plus elle ne contient qu'un seul point.

[aida1807]

Bonjour,
Au risque de poser une question vraiment bête, comment peut-on savoir que l'intersection est vide. Même si n est très grand, il y a toujours un nombre plus grand que $a_n$ puisque l'intervalle $I_n$ est ouvert...

[mathtous]

Précisément !
Si on suppose que x est dans l'intersection, il doit être supérieur à tous les entiers, ce qui n'est pas.

[aida1807]

Je crois que je comprends... Il faut que j'y réfléchisse encore afin de bien assimiler le théorème, mais c'est déjà beaucoup plus clair. Merci!

[mathtous]

Fais des dessins pour bien voir la différence entre les deux exemples que je t'ai donnés.