exercice type bac ln x - terminale es



  • Voici le sujet :

    Soit f la fonction définie sur ]0;+ infini[ par f(x) = -(ln x)^2+ln x + 2
    Soir C sa représentation graphique dans le plan muni d'un repère orthonormal d'unité graphique 2 cm.

    1)a. Résoudre l'équation f(x) = 0
    b. Donner une nterprétation graphique des solutions

    1. Etudier les limites de f en 0 en en +infini. Que peut on en déduire pour la courbe C ?

    2. Calculer f'(x). Dresser le tableau complet des variations de la fonction f.

    3. Tracer C en indiquant tous les résultats trouvés précédemment.


    Voila, j'ai essayer de faire l'exercice, de le comprendre.

    pour la question 1) nous devons faire delta c'est ça ? Nous trouverons donc 2 valeurs si delta positif. Ces deux valeurs indiquent que la courbe passe par l'axe des abscisses.

    1. pour les limites, je n'ai rien compris quand nous l'avons fais en cours, quelqu'un pourrais m'expliquer ?

    Quelqu'un pourrait me dire ce qu'il faut que je fasse pour la site s'il vous plait ? Est ce que mes pistes de réflexions sont bonnes ? Merci


  • Modérateurs

    BONJOUR foudre3 !

    Peux tu préciser tes réponses pour la première question ?



  • Nous avons delta qui fait 9. Les solutions sont donc 2 et -1. La courbe C passe donc par l'axe des abscisse au point (2;0) et au point (-1;0)

    Est ce juste ?


  • Modérateurs

    ( une prochaine fois , dis - nous un petit "bonjour" avant de commencer ...ça fait plaisir...)

    Pour répondre à ta question : Non...

    ton calcul est juste mais il faut faire un changement d'inconnue.

    Tu dois résoudre -(lnx)²+lnx+2=0

    Condition d'existence : x > 0 ( pour que lnx existe )

    Tu résous donc pour x ∈ ]0 , +∞[

    Tu a dû poser lnx=X

    Equation auxiliaire : -X²+X+2=0

    Tu as trouvé X=2 et X=-1

    Mais maintenant , il faur revenir à x , c'est à dire résoudre :

    lnx=2et lnx=-1



  • Oui excusez moi, je n'ai pas été très polie.
    Bonjour 🙂 (et merci de m'aider)

    Donc pour lnx=2 -> lnx=2x1 -> lnx = 2xlne -> x=e^2
    Pour lnx=-1 -> lnx=-1x1 -> lnx= -1xlne -> x= e^-1 = 1/e


  • Modérateurs

    C'est bon pour les solutions de l'équation.

    Pour la limite en 0 ( par valeurs positives ) , il n'y a pas d'indétermination

    Tu sais que lnx tend vers -∞ , donc....................

    Pour la limite en +∞

    Tu sais que lnx tend vers +∞

    Il y a une indétermination du type "-∞+∞"

    Il faut transformer l'expression de f(x) pour lever l'indétermination.

    f(x)=lnx(lnx+1+2lnx)f(x)=lnx(-lnx+1+\frac{2}{lnx})

    Tu peux trouver la limite en +∞ avec cette écriture.



  • lim -ln x en +infini c'est - infini
    lim ln x en + infini c'est infini

    mais je ne sais pas si c'est juste. Je n'arrive pas à continuer.

    lim en 0 de ln x c'est - infini
    lim de -ln x +1 + 2/ln x c'est 1
    Donc lim en 0 de f(x) =- infini

    3)2x -1/x fois ln x + 1/2

    est ce juste ?


  • Modérateurs

    Revois tes limites...

    En +∞ , tu as bien commencé.

    lnx tend vers +∞
    -lnx tend vers -∞
    1 est une constante
    2/lnx tend vers 0

    Donc (-lnx+1+2/lnx) tend vers ..................
    En multipliant par lnx qui tend vers +∞ , le produit tend vers ..................

    En 0, il n'y a pas d'indétermination.
    Utilise l'expression de l'énoncé

    Refais le calcul de la dérivée...( la dérivée de U² est 2UU' et la dérivée d'une constante vaut 0 )



  • donc (-lnx+1+2/lnx) tends vers 1
    en multipliant par ln x qui tend vers + infini, le produit tends vers + infini

    la limite en 0 de f(x) c'est 2.

    si la dérivée de U^2 c'est 2UU' alors : -2lnx x -1/x
    C'est juste ?


  • Modérateurs

    non...fais attention...

    (-lnx+1+2/lnx) tend vers -∞
    En multipliant par lnx qui tend vers +∞ , le produit tend vers -∞

    La limite en 0n'est pas 2
    lnx tend vers -∞ donc (lnx)² tend vers +∞ donc -(lnx)² tend vers -∞
    Tu ajoutes à lnx qui tend vers -∞ et à 2 et tu trouves ................................

    La dérivée de (lnx)² est 2(lnx)(1/x)



  • D'accord, je me suis dis c'est pas possible que sa soit - infini sinon sa fait forme indéterminée.

    pour la limite en 0 jai compris comme vous avez fais. Si par somme nous avons - infini et 2 la limite en 0 de f'x) est - infini

    Pour la dérivée, nous devons pas faire la dérivée de -(lnx)^2 au lieu de (lnx)^2 ?



  • pour 2) lim en + infini de f(x) c'est - infini
    lim en 0 de f(x) c'est - infini

    pour la question 3 ) : la derivée de ln(x)^2 c'est 2 fois 1/x fois ln(x)
    donc f'(x) : -2/x fois ln(x) + 1/x


  • Modérateurs

    Oui : c'est bien -∞ les deux limites cherchées.

    Oui pour f'(x) et tu peux réduire au même dénominateur :

    f(x)=2lnx+1xf'(x)=\frac{-2lnx+1}{x}

    Vu que x>0 ( l'ensemble de définition est ]0,+∞[ ) , la dérivée est du signe de -2lnx+1


 

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