Etude d'une fonction avec valeur absolue et fonction logarithme


  • M

    Bonjour voila je suis sur une étude de fonction et complétement bloqué

    f(x)=x²ln(|x|)

    Pour le domaine de définition dans ce cas j'aurais ] - inf ; 1 [ et ] 1 ; inf [?? car pour moi le domaine de definition d'une fonction avec ln été ] 0 ; inf [ mais cette petite valeur absolu me perturbe ^^

    du coup alors je doit calculer

    f(x)=x²ln(x) et f(x)=x²ln(-x)?


  • mtschoon

    Bonjour,

    Pour tout x , |x| ≥ 0

    Il te faut , à cause du ln , |x| > 0

    La seule valeur "interdite" est donc x=0 pour laquelle |x|=0

    Donc Df=R-{0}=R*


  • M

    Tres bien je vois donc je doit calculer les deux dérivés?

    merci pour ton aide


  • mtschoon

    Non , tu n'as pas besoin de faire les deux cas.

    La fonction f est paire :

    f(-x)=(-x)²ln|-x|=x²ln|x|=f(x)

    Tu peux faire seulement le cas x>0 avec f(x)=x²lnx

    Par parité ( symétrie de la courbe par rapport à l'axe des ordonnées ) , tu pourras déduire les variations de f pour x<0


  • M

    mtschoon
    Non , tu n'as pas besoin de faire les deux cas.

    La fonction f est paire :

    f(-x)=(-x)²ln|-x|=x²ln|x|=f(x)

    Tu peux faire seulement le cas x>0 avec f(x)=x²lnx

    Par parité ( symétrie de la courbe par rapport à l'axe des ordonnées ) , tu pourras déduire les variations de f pour x<0


  • mtschoon

    Oui car |-x|=|x|

    Deux nombres opposés ont la même valeur absolue

    Exemples :

    |2|=|-2|
    |-3|=|3|


  • M

    très bien je situe un peu mieux tout ça.

    J'avais du mal avec les valeurs absolues mais je commence à comprendre le fonctionnement.


  • mtschoon

    J'avais peur qu'une explication "rigoureuse" te complique au lieu de t'éclairer mais je peux te l'indiquer .

    En revenant à la définition :

    |x|=x si x ≥ 0
    |x|=-x si x ≤ 0

    Avec la mëme définition :

    |-x|=-x si -x ≥ 0 , c'est à dire si x ≤ 0
    |-x|=-(-x)=x si -x ≤ 0 , c'est à dire si x ≥ 0

    Conclusion ( en comparant ) :

    Pour x ≥ 0 |x|=|-x|=x
    Pour x ≤ 0 |-x|=|x|=-x

    D'où |x|=|-x| pour tout x réel.


  • M

    oui c'est tout un cheminement, je n'y avais pas pensé


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