rapport entre puissance et factorielle !!!

quand j'ecris la suite : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ...
et que je met ces nomres a la puisance 0, j'obtiens la suite : 1 1 1 1 1 1 1
a la puissance 1, la suite 1 2 3 4 5 6 7 .... reste inchangée...
a la puissance 2 : 1 4 9 16 25 36 49 64 ...
a la puissance 3 : 1 8 27 64 125 216 ...

cela sufira pour l'instant, maintenant, interessons-nous aux differences entre nombres successifs :
a la puissance 0 la suite 1 1 1 1 1 1 ne contient que des 1 soit 0!

a la puissance 1, la suite 1 2 3 4 5 6 7 8 9...
a pour differences successives : 1 1 1 1 1 1 1... soit 1!

a la puissance 2, la suite 1 4 9 16 25 36 49 64...
a pour differences succeessives : 3 5 7 9 11 13 15.....
suite qui a pour differences successives 2 2 2 2 2 soit 2!

a la puissance 3 la suite 1 8 27 64 125 216..
a pour differences succeessives 7 19 37 61 91....
suite qui a pour differences successives : 12 18 24 30...
suite qui a pour differences successives : 6 6 6 6 6 soit 3!

demontrer que a la ligne n des n-differences-successives de la suite 1 2 3 4 5 6 7 8 9... a la puissance n, le seul nobmre present est n!
la premiere etape est necessairement de metre ceci en equation.....

a+

Salut,

Euuuh...zut...je croyais qu'il y avait une erreur dans l'énoncé et finalement non !! Faut que je m'achète de nouvelles lunettes moi !!

Pour ceux qui comme moi n'auraient pas fait gaffe, c'est bien factorielle de n (n!) qu'il faut trouver... moi j'avais vu n... :razz: C'est parce que j'ai l'habitude de finir mes phrases par des ! et pas par des . !!!! (<-- voyez plutôt :rolling_eyes: )

Désolé pour le dérangement... :frowning2:

personne n'est tenté ????

il y a quelques som(, quelques combinaisons mais c'est pas si dur ...

Doit-on inclure le triangle de Fermat là-dedans ? Voilà !

Menteur !!!! Ca ne marche plus à partir de n=4, et j'ai trouvé la relation suivante : à la ligne n des différences successives , le seul nombre présent est (la somme des chiffres de la ligne n+1 du triangle de Fermat) - 2 à partir de N=2. Après pour le prouver, je continue à chercher; Voilà !

Je comprends plus rien, ça marche pour n=5 et j'ai vérifié mes calculs pour n=4...Voilà !

Je veux dire que pour n=5 on trouve bien 5!=120...Voilà !

ce que je trouve marant, qu'est que a la 0 ieme ligne des entiers a la puissance 0 soit la ligne de 1 1 1 1 1 1 ....

on tombe quand meme sur 0!

PS : c'est quoi le triangle de fermat ?

PS 2 : tu veux dire que ca marche pas pour n = 4 ? t'es pas bien clair. pour moi ca marche pour tout n positif

1 2 3 4 5 6 7
puissance 4 donne
1 16 81 256 625 1296 2401
et les suites successives sont :
15 65 175 369 671 1105
50 110 194 302 434
60 84 108 132
24 24 24 soit 4! voilou !

Désolé, je me suis trompé dans mes calculs... :frowning2: :frowning2: :frowning2: ...Voilà !

Le triangle de Fermat c'est:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
...
En fait, chaque nombre égal celui qui est au-dessus+le nombre à gauche de celui-ci (3+3=6 ; 4+6=10). Mais regardez plutôt ce site pour en savoir plus !
http://perso.wanadoo.fr/therese.eveilleau/ puis allez dans Magie puis Plus sur le Triangle de Pascal. Ce site est par ailleurs une vraie mine de jeux mathématiques ! Voilà !

le triangle de pascal et le triangle de fermat, c'est donc la meme chose ?

Pascal et et Fermat, je confonds les deux...MAIS EST-CE QU'ON DOIT L'UTILISER? Voilà !

il m'éclate ton Voilà !

la réponse a ta question est : oui,( et je rajouterai évidement).

puissance 2 :

1 4 9 16
3 5 7 = (2^2 -1^2 ) (3^2 -2^2 ) (4^2 -3^2 )
2 2 = (3^2 -2^2 )-(2^2 -1^2 ) (4^2 -3^2 )-(3^2 -2^2 )
soit = 3^2 -2(2^2 ) +1^2 4^2 -2(3^2 )+2^2
les coefficients sucessifs sont 1, 2, 1. soit la deuxieme ligne du fameux triangle.

fais-le pour la puissance 3 de la meme maniere, ensuite, dans la "pyramide" de nombres :
1 8 27 64 125
7 19 ... etc
ensuite, ce sera plus facile......

Mais je l'ai fait !!! j'ai fait la démonstration pour n'importe quelle suite de nombres consécutifs (x, x+1, x+2...) pour les puissances 2, 3 et 4. Veux-tu que je te les montre ? Par contre, je n'arrive pas à trouver de démonstration générale, c'est-à-dire celle qui démontre la propriété pour n'importe quelle puissance. Content de te faire rigoler avec mon Voilà. Voilà !

Sinon si tu aimes ça, tu as vu l'énigme des Développements ? Il en reste à faire...Voilà !

soyons simplistes pour commencer...

$1^n$ $2^n$ $3^n$ ....
que je nomme A, B, C, D,....

1ere ligne de diff B-A, C-B, D-C
2eme ligne de diff C-2B+C , D-2C+B
3eme ligne de diff D-3C+3B-D

soit E un element quelconque du tableau.il se reperera par 2 coordonées : L ( sa ligne ) et x l'entier (celui mis a la puissance n) le plus a gauche de la "pyramide" (dans mon exemple : $x^n$ =A ) .

j'écris donc ( si j'me suis pas planté, 1 chance sur deux) :

E(L;x) = som(i=0 n) $1)^i$ * $x+n-i)^n$ * C(L,i). ou C est une combinaison)

Et c'est quoi ta combinaison ? Voilà !

combinaison: C (L, i) = L!/(i!*(L-i)!)

ca se démontre de manière assez simple par récurrence sur n (en utilisant la formule : $C$ n $^p$ = $C$ {n-1}$$^p$+C $_{n-1}$ ^{p-1}$ du triangle de pascal.)

NB: $C$ _n $^p$ = n! / [(n-p)! p!] uniquement si p<=n , sinon ca vaut 0.

J'abandonne, j'ai pas encore vu les probas...Voilà !

e fait c'est pas tres compliqué :
le triangle de pascal est assez simple, et il existe une méthode pour calculer n'importe quel nombre de ce triangle directement.
$C_n$ $^p$ = p!/(n!*(p-n)!) = $nieˋmen^{ième}$ nombre de la ligne p

cadarik : on peut aussi ecrire ta formule ainsi (c'est comme ca que je l'ai démontrée):
$som(_{i=0}$ $^n$ $1)^{n-i}$ . $C_n$ $^i$ . $x+i)^n$ = n!, qqsoit/ x app/ R , qqsoit/ n app/ N

(ca revient au meme: il suffit de remplacer i par n-j dans la somme)

je me demande si ta formule n'est pas plus simple à demontrer que la mienne...
edit: eh bien non. je prefere la mienne .

Maintenant au lycée on n'écrit plus les combinaisons avec C mais sous la même forme que les coordonnées d'un vecteur entre () avec le n (le plus grand des 2 nombres) en haut et le p en bas $($ _p $^n$ ).

Je ne sais pas depuis quand cette notation est arrivée ; ma fille qui a passé son bac en 1997 utilisait encore la notation $C$ _n $^p$ !

ahhh ok ok...

merci pour le renseignement.

les arrangements ont-ils eux aussi changés de notation ?

s'en sert-on encore ?

a+

J'ai un livre de Mai 2002 et la notation par un vecteur colone est déja utilisé donc c'est entre 1997 et 2002....

Peu importe mais attention !
Le p et le n doivent etre echanger quand on passe avec le C ou en vecteur !!!!!

$C^n$ $_p$ = $^p$ $_n$ )

Les terminales n'entendent plus parler des arrangements.

Aucun exercice avec une notion d'ordre dans les réponses.

Donc je ne sais pas comment on les écrit maintenant

Salut.

Ben ça dépends des profs alors, parce qu'en TS (années 2003/2004) on avait commencé le chapitre "Combinatoire-Dénombrement" par les arrangements justement.

On avait introduit les p-listes, et définit que les p-listes sans répétition parmi n éléments s'appelle arrangement d'ordre p.

On l'avait noté:
$A_n$ $^p$ = n(n-1)...(n-p+1) .
$A_n$ $^p$ =n!/(n-p)!

En ce qui concerne les combinaisons, la nouvelle notation est bien celle en vecteurs colonnes, mais la version avec C est toujours employée et tolérée.

@+

je sais pas si vous avez remarqué mais...

j'ai pris pour exemple la suite 1 2 3 4 5 6 7 8 .....

ça marche aussi pour 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5etc..
tous positifs distants de 1 en faif...

ca marche aussi pour les complexes d'apres vous ???

J'ai demandé à un mathématicien... Nan les arrangement n'ont pas changer de notation !! Vive les étourderies pour les futurs bachelier !!

Je pense que pour les nombre complexe ça devrait marcher seulement si la distance entre eux dans la suit est de un sinon je crois que c'est pas la peine !
la distance est facile à obtenir avec les cos et sin !!