Calculer des unions et intersections d'intervalles

Bonjour,

Voici un exercice que j'aimerais résoudre:
Soient I et J deux intervalles de R.

Montrer que I ∩ J est un intervalle.
On suppose l'intersection I ∩ J non vide, montrer qu'alors l'union I ∪ J est un intervalle.
montrer que ]0; 1] est egal a la reunion d'une suite d'intervalles fermes.

Je me demandais comment on peut montrer qu'un intervalle est justement un intervalle.
Suffit-il de dire que tout $x$ appartenant à la fois à I et à J appartient à I∩J et que par conséquent I∩J est un intervalle? Mais je n'appelle pas ça une démonstration, moi :-S ...

Merci d'avance,
Aïda

Bonjour,
Si I = [a;b] et J = [c,d]
x∈I signifie a ≤ x ≤ b
x∈J signifie c ≤ x ≤ d
Donc si x ∈ I∩J, x appartient à I et J donc :
sup (a,c) ≤ x ≤ inf (b,d)
Ce qui prouve que x est dans un intervalle.
N'oublie pas la réciproque.
Je te laisse voir les différents cas : intervalles ouverts, semi-ouverts, infinis.

Pour la question 2, on a cette fois x ∈ I ou x ∈ J, donc inf(a,c) ≤ x ≤ sup(b,d).
Et ce n'est un intervalle que si c'est non vide, c'est-à-dire si inf(b,d) ≥ sup(a,c) i.e. si I et J ne sont pas disjoints.

Mais tu as raison : on utilise un marteau-pilon pour écraser une mouche.

Pour la question 3 je te laisse chercher : pense à une suite de nombres positifs tendant vers 0.

Bonjour mathtous,
Merci de m'avoir répondu. Désolée de ne répondre que maintenant, je n'ai pas eu la possibilité de me connecter suffisamment longtemps ces derniers jours.

C'est sûr que ta démonstration est plus rigoureuse et élégante que ce que j'ai mentionné !

En cas d'intervalles I et J ouverts, on écrirait:
x∈I signifie que a < x < b et x∈J signifie que c<x<d.
Si x∈I∩J alors x appatient à la fois à I et J
donc sup (a,c) < x < inf (b,d)
Ce qui prouve que x est dans un intervalle.

Si I et J sont semi-ouvert alors c'est sensiblement la même chose, il faut juste prendre soin de mettre < et ≤ aux bons endroits.

Si I et J sont des intervalles infinis, alors I=]-∞,+∞[ et J=]-∞,+∞[.
Dans ce cas, x appartenant à I et J, il est compris entre -∞ et +∞. Donc x∈ ]-∞,+∞[ et x est bien dans un intervalle
(Ce n'est pas rigoureux du tout je trouve !)

Lors de la rédaction de la solution, suis-je obligée de mentionner tous les cas (intervalle ouvert, semi-ouvert, fermé...) ?

Question 2:
Si I∩J est vide alors x∈I∪J signifie que x∈ [a,b]∪[c,d], [a,b] et [c,d] étant disjoints. Peut on dire que [a,b]∪[c,d] n'est pas un intervalle mais la réunion de deux intervalles disjoints ? D'où la nécessité que I∩J soit non vide.

Question 3: Je vais y réfléchir. J'ai une idée mais je n'arrive pas à mettre le doigt dessus. Je te dis dès que je trouve...

Voilà,
Passe une bonne fin de week-end,
Aïda

Edit de J-C : bug corrigé, il faut mettre des espaces autour du signe <.

Bonjour,
Dans le cas des intervalles infinis, il y a aussi ceux du type [a ; +∞[, ...
Personnellement je traiterais correctement un cas ( par exemple celui des intervalles fermés bornés ) et je dirais qu'on procède de même pour les autres configurations.
N'oublie pas les réciproques : je n'ai traité que I∩J est inclus dans l'intervalle [sup (a,c) ; inf (b,d)] , tu dois aussi établir que tout élément de cet intervalle est dans I∩J.
Dans le cas des intervalles ]-∞ ; +∞[ il n'y a rien à démontrer puisqu'ils sont égaux.
( ce qui est toujours vrai lorsque I = J de tout type ).

Pour la question 2, je n'ai fait qu'ébaucher l'idée.
J'ai juste montré que si x∈ I∪J alors inf(a,c) ≤ x ≤ sup(b,d).
Tu dois préciser dans la réciproque que si I∩J est non vide, alors inf(a,c) ≤ x ≤ sup(b,d) implique x∈I∪J.

Bon courage pour la question 3.

Bonsoir,
Je suis confuse! je croyais avoir posté ma réponse et je me suis aperçu qu'en fait, j'ai redemarré mon ordinateur avant de l'avoir poster.
Je précise que j'ai rédigé ce qui suis juste après avoir vu la réponse de Mathtous (que je remercie pour l'aide apportée )

Soient deux intervalles I=[a,b] et J=[c,d]
x appartient à I signifie que a≤ x≤ b et x appartient à J signifie que c≤ x≤ d
Si x appartient à I ∩J alors x appartient à la fois à I et à J.
D'où sup(a,c)≤ x≤ inf(b,d)
Donc I ∩ J est bien un intervalle.

Réciproquement: I=[a,b] et J=[c,d]
Soit x appartenant à l'intervalle [sup(a,c), inf(b,d)] c'est à dire sup(a,c)≤ x ≤inf(b,d)
x appartient alors nécessairement à I et à J soit à I ∩ J.

2)I=[a,b] et J=[c,d]
si x appartient à I ∪ J, alors x appartient soit à I , soit à J soit aux deux à la fois.
D'où inf(a,c)≤ x≤ sup(b,d)
Donc I ∪ J est bien un intervalle

Réciproquement: I=[a,b] et J=[c,d]
On suppose que I inter J est non vide que que x appartient à l'intervalle [inf(a,c), sup(b,d)] c'est à dire que inf(a,c) ≤x ≤sup(b,d)
Donc x appartient nécessairement à I ou à J c'est à dire à I union J.

Si I ∩ J était vide alors [inf(a,c), sup(b,d)] ne constituerait pas un intervalle (JE NE SUIS PAS CERTAINE DE CE QUE J'AVANCE; SUR UN DESSIN, CELA SEMBLE CLAIR, MAIS JE NE PARVIENS PAS A L'EXPRIMER DANS UNE PHRASE; tOUJOURS MON MANQUE DE RIGUEUR... :-S)

[a________b][c________d]__

I∩J est vide mais qu'en est-il de I∪J?

La suite d'intervalles u_n=[1/n; 1], avec n appartenant à R a pour réunion l'intervalle ]0,1]

Merci d'avance, et encore désolée pour le retard... ce n'était pas volontaire!
Bonne soirée

Bonjour,
En fait, ta rédaction "laisse un peu sur la faim".
Citation
Si x appartient à I ∩J alors x appartient à la fois à I et à J.
D'où sup(a,c)≤ x≤ inf(b,d)Ceci demande à être détaillé :
a ≤ x et c ≤ x donc x est supérieur ou égal à la fois à a et c, donc supérieur au plus grand des deux : sup(a,c) ≤ x.
Même chose pour l'autre inégalité.
Citation
Donc I ∩ J est bien un intervalle.Non : I∩J est seulement inclus dans l'intervalle [sup(a,c) ; inf(b,d)]. Il faut attendre la réciproque pour conclure.
Réciproque qu'il faut également détailler.

Pour la réciproque de la réunion, tu ne changes rien à la généralité en supposant par exemple a ≤ b ≤ c ≤ d ( cas où il est possible que b < c),
ou a ≤ c ≤ b ≤ d qui te permet d'envisager 3 cas ( ici l'intersection est non vide ).
Lorsque I∩J est vide, I∪J existe toujours, mais ce n'est pas un intervalle : c'est la réunion de deux intervalles disjoints.
Tout est basé sur le fait qu'un intervalle contient tous les nombres compris entre deux valeurs données. S'il y a un "trou", ce n'est plus un intervalle.

Pour la question 3, ton exemple est juste.

Bonjour,
Merci pour ta réponse.
En effet, je peut comprendre que me rédaction "laisse sur la faim". C'est tout à fait l'effet qu'elle a sur moi, alors...
Je vais essayer de rédiger de nouveau. J'ai l'impression que je n'y parviendrai jamais...

Bonjour,
Citation
Tout est basé sur le fait qu'un intervalle contient tous les nombres compris entre deux valeurs données. S'il y a un "trou", ce n'est plus un intervalle.Il suffit donc de manipuler des inégalités.
Bon courage pour la rédaction.
Je conviens que l'exercice est difficile car "visuellement évident".