Etudier une fonction avec logarithme népérien

bonjour,
je suis coincé sur un Dm , voilà l'énoncé:

on considére la fonction g définti sur o, + infini par:
g(x)= (alnx+2)/x
determiner les réels a et b pour que R, representation graphique de g passe par le point A(e:3/e)
et que la tangente au point d'abscisse 1 soit parallèle à la droite d'équation y= -x
soit la fonction f définie sur o,+infini par :
f(x)= (lnx + 2)/x

a) déterminer les coordonnées des points d'intersection de C avec l'axe des abscisses.
b) déterminer les limites de f en 0 et + infini
c) étudier les variations de f et dresser tableau de variation
d) déterminer équation de la tangents en x=1
e) tracer T et Cf

j'ai commencé par :

Cf passe par A(e:3/e) donc f(e)=3/e
Cf admet une tangente parallèle au point d'abscisse 1 donc f'(1)=-1

f(e)=3/e donc (aln e +b)/e = 3/e
donc (a1+b)/1 = 3/e
donc (a+b)/1= 3/e
Mais voilà le probléme, cela ne m'avance à rien et je présume que certaines choses soont fausses

dans la 2éme question, j'arrive pas a faire les limites. Cependant comme dérivée j'ai trouvé :

-lnx- 2 / x

Merci d'avance

Bonjour,

Je suppose que g(x) = (alnx + b)/x
Tu as oublié le e : (a*1+b)/e = 3/e ; soit a+b = 3,
g'(x) = (a-alnx - b)/x²
et g'(1) = a-b
soit à résoudre le système
a+b = 3
a-b = -1

merci et sinon pour la dérivée , est elle bonne ?

Non la dérivée est fausse

f(x) = (lnx + 2)/x
f'(x) = [(1/x)*x - lnx - 2]/x²
= .....

oui donc sa fait bien :

f'(x) = -lnx - 1/ x²

???

oui

f'(x- = (-lnx - 1)/x²

merci,
donc après ils disent de dresser le tableau de variation de f à la question c) :
j'ai pensé faire :

x² sup à 0 donc f'(x) du signe de -lnx-1

f(x) supérieur à 0
donc : -lnx-1 sup 0
-lnx sup 1
-x sup 1
x sup 1/-1 = -1 ????????????

je ne sais pas si il faut plutôt faire :

x sup e(-1) donc 1/e
merci d'avance

Le passage de -lnx > -1 à -x > 1 est faux

-lnx - 1 > 0 équivalent à
lnx < -1, puis comme lne = 1;
lnx < - lne qui est égal à $lne^{-1}$
soit
lnx < $lne^{-1}$
soit
x < .....

mais normalement le ln ne devrait pas disparaitre et dans ce cas laisser place a e(-1) ?

je ne comprend pas vraiment

par ailleurs, en ce qui concerne la tangente j'ai trouvé:
y=f'(1)(x-1)+f(1)

f'(1)=-1
f(1)=2

donc y= -1(x-1)+2
= -1x+3

lnx < $lne^{-1}$
soit
x < $e^{-1}$ = 1/e

L'équation de la tangente est juste.

a donc la deuxième solution que j'avait proposé était à peu près juste
merci beaucoup

donc on ne peut pas mettre cette valeur dans le tableau de variation puisque la fonction est définit sur 0 et + infini

en ce qui concerne les limites :

j'ai fait :

lim lnx+2/x = lim lnx/x = 0
x_+infini x_+infini

par contre pour celle en 0 je suis coincé

1/e appartient à l'intervalle ]0;+∞[,

Pour la limite en 0;
lnx + 2 tend vers -∞ et
1/x tend vers +∞
donc f(x) tend vers .....

merci,
donc par produit f(x) tend vers -∞
pour la question a) pouriez vous me donner une piste car je ne voit pas la démarche qu'il faut faire

merci d'avance

Salut.

2.a) Tout point de l'axe des abscisses à une ordonnée nulle, n'est-ce pas ? Or, les points de la courbe C de f ont pour coordonnées (x;f(x)). Pour répondre à la question, il suffit donc simplement de résoudre l'équation f(x) = 0.

@+

pour la question toutes première j'ai essayé de résoudre le systéme :

a+b=3 (1)
a-b=-1 (2)

d'après 2 on a a=b-1
en substituant dans 1, on obtient :

(b-1)+b=3
b-1+b=3
2b-1=3
2b=4
b=4/2=2

puis on remplace b par sa valeur b=2 dans a=b-1 on obtient :
a=2-1
a=1

le sytéme à pour solution le couple (a;b) soit (1;2)

Salut.

Le couple solution est correct, on a bien 1 + 2 = 3 et 1 - 2 = -1.

@+

merci beaucoup,
et pour la question a) du 2 je ne vois pas comment faire à par f(x)=0 mais cela revient à faire la même chose que la question c car on est obligé de faire la dérivée et donc après de faire f(x)=0

merci de votre aide

Salut.

2.a) Non, ce n'est pas la même chose. Dans la 2.c), il faut étudier le signe de la dérivée. Là, il suffit de résoudre l'équation f(x) = 0.

@+

a ok, donc je pensé faire cela,
f(x)=0
donc lnx+2=0
lnx=-2
x=e-2 ?????,

f(x)= (lnx+2)/x

lim (lnx+2)/x = lim lnx/x= +infini
x_+infini x_+infini
lim f(x)=?????? à partir de là je suis coincé
x_0

merci d'avance

Salut.

2.a) Oui, c'est bien ça.

@+

et en ce qui concerne la limite en 0 pouvez vous m'aider svp

et la valeur trouvé à la question 2)a est ce normal que ce ne soit pas la même trouver à la question c) soit 1/e ??

Salut.

2.b) La limite en +∞ est incorrecte, x l'emporte sur ln(x), c'est vu en cours normalement.

Pour la limite en 0, je ne vois pas le problème.

lim ln(x)+2 en $0^+$ ?
lim 1/x en $0^+$ ?

Donc le produit des deux limites ?

2.c) Je ne vois toujours pas le rapport entre les deux questions, et d'où tu sors ton 1/e.

@+

dsl j'ai fait une erreure de frappe lim lnx/x=0 quand x tend vers +infini

en ce qui concerne mon 1/e j'ai fait:

-lnx-1 sup 0 (pour savoir quand xs'anule en 0)
-lnx sup 1
-x sup 1
x inferieur e-1
x inferieur 1/e

pour revenir au limite :

lim ln(x)+2 en 0+ =2 ????

lim 1/x en 0+ = + infini

Salut.

2.b) Hem... prends le temps d'écrire sans faute, t'as inversé la limite cette fois. C'est en +∞ que ça tend vers 0.

Pour la limite en 0, que vaut limite de ln(x) en 0 ? Juste ça.

2.c) C'est le signe de la dérivée, je vois pas le rapport avec la valeur de f en 0. Pourquoi on aurait f(0) = f'(0) ?

@+

2)b: pour moi la limite en 0 de ln(x)=-infini
or, je ne comprend pas car sur ma calculette ma courbe va vers +infini et non vers -infini

2)c je suis d'accord. Cependant est ce que
-lnx-1 sup 0
-lnx sup 1
-x sup 1
x inferieur e-1
x inferieur 1/e

est il exacte car avec cela je peut alors dresser le tableau de variation soit :

entre ]0;1/e], f(x) est croissante et sur [1/e;+infini[ f(x) est décroissante

Salut.

2.b) Ok pour la limite de ln(x), donc celle de ln(x) + 2 en 0 ? Et enfin le produit des limites pour trouver celle de f ?

2.c) Oui.

@+

lim ln(x)+2=2 quand x_0

lim1/x= + infini quand x tend vers 0

donc par quotient, lim de f(x)= +infini quand x tend vers 0

?????????

je ne comprend pas pourquoi vous dites par produit?

Salut.

Tu ne trouves pas qu'il y a un truc qui cloche pour lim ln(x)+2 ? Si celle de ln(x) c'est -∞, comment en arrives-tu à lim ln(x)+2 = 2 en 0 ?

Pour le produit, ben :

$lim⁡x→0+ln⁡(x)+2x=[lim⁡x→0+ln⁡(x)+2]×[lim⁡x→0+1/x]\lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{\ln(x)+2}{x} = \left[ \lim_{x \rightarrow 0^+} \ln(x)+2 \right] \times \left[ \lim_{x \rightarrow 0^+} 1/x \right]$

Tu vois où un quotient avec 1/x, toi ?

@+

ba moi je pensais que c'était un quotient car j'aurais fait:

lim ln(x)+2=
x_0
donc par quotient , lim f(x) ...
et lim x=
x_0

Salut.

Le problème dans ce cas sera, une fois la limite du numérateur déterminée, de préciser le "signe" de la limite de x en 0 (le dénominateur). La limite du produit est plus simple à justifier rapidement. Mais si tu préfères avec le quotient, fait simplement attention à ta rédaction.

@+

ok merci