limites et logarythme.... ex 96 p95 de declic maths

Bonjour, voici l’éxo que je dois rendre en DM pour la semaine prochaine :

A. Soit g le fonction définie sur l’intervalle ]0 ; +00[ par g(x) = x²+1-lnx

1/ calculer la dérivée de g(x) et étudier son signe.
2/ Donner le tableau de variation de g (on ne demande pas les limites en 0 et +00)
En déduire le signe de g(x) sur ]0 ;+00[

B. Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]0 ;+00[ par :

F(x) = x+1/2+lnx/x

Et C sa représentation graphique dans un repère orthonormal….

1/a/ déterminer la limite de f en 0 interpréter graphiquement ce résultat

b/ déterminer la limite de f en +00

2/ Montrer que, pour tout x de l’intervalle ]0 ;+00[ f’(x) = g(x)/x² ou f’ est la fonction dérivée de f
3/ Montrer que l’équation f(x) =3 admet une unique solution x0 sur l’intervalle [2 ;3]
A l’aide de la calculatrice donner un encadrement d’amplitude 10 puissance –2 de x0
4/a/ Calculer les coordonnées du point A, intersection de la courbe C avec la droite D d’équation y= x+1/2
b/ Montrer que la droite D est asymptote oblique a la courbe C en +00
c/ Etudier la position de la courbe C par rapport a la droite D
d/ déterminer une équation de la tangente T a la courbe C au point A

Pour le moment je n’ai pas trouvé grand chose :

1/ g’(x) = 2x-1/x = (2x²-1)/x

Signe de g’(x) : + puis –

2/ tableau de variation : croissant puis decroissant

je n’ai pas trouver comment faire pour trouver le signe de g(x) sans calculer ces limittes

B.1/ les limites sont trouvé quand x tend vers 0 lim f(x)= -00 dc il y’a une asymptote vertical d’équation x=0
Et quand x tend vers +00 lim f(x)= +00

C’est la que je commence a coincer grave tout ce qui est ln m’embrouille dans mes calcules en plus je ne comprend plus. enplus je trouve que l’éxercise n’est pas trés bien fait car il porte a confusion merci d’avance pour votre aide.

PS : merci de me donner si possible les méthodes allant avec chaque réponse car la semaine prochaine j’ai un DS et je ne comprend vraiment rien

Pour moi un tableau de variations n'est complet que lorsqu'il indique les limites aux bornes du domaine de définition.

Donc calcule les limites de g(x) en 0 et +inf/ et tu trouveras que g(x)>0 pour tout x>0

Pour dériver f tu appliques les formules

f(x) = x+1/2+lnx/x = h(x) + k(x) donc f'(x) = h'(x) + k'(x)

avec h(x) = x+(1/2) donc h'(x)= 1

et k(x) = lnx/x = u(x)/v(x) avec u(x)=lnx donc u'(x)=1/x et v(x)=x donc v'(x)=1

et k'(x)=[u'(x)v(x)-u(x)v'(x)]/v(x)^2 =[(1/x)x-(lnx)(1)]/x^2 = (1 - lnx) /x^2

f'(x) = 1 + k'(x) = 1 + (1 - lnx) /x^2

calculs à vérifier (une erreur de signe peut si vite arriver !)

Un autre calcul me donnant f'(x) = 1 + (-1 + lnx) /x^2 je ne sais plus quelle est la bonne réponse. A toi de faire les calculs et de décider de la bonne réponse ! (je botte en touche)