limites et logarythme.... ex 96 p95 de declic maths



  • Bonjour, voici l’éxo que je dois rendre en DM pour la semaine prochaine :

    A. Soit g le fonction définie sur l’intervalle ]0 ; +00[ par g(x) = x²+1-lnx

    1/ calculer la dérivée de g(x) et étudier son signe.
    2/ Donner le tableau de variation de g (on ne demande pas les limites en 0 et +00)
    En déduire le signe de g(x) sur ]0 ;+00[

    B. Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]0 ;+00[ par :

    F(x) = x+1/2+lnx/x

    Et C sa représentation graphique dans un repère orthonormal….

    1/a/ déterminer la limite de f en 0 interpréter graphiquement ce résultat

    b/ déterminer la limite de f en +00

    2/ Montrer que, pour tout x de l’intervalle ]0 ;+00[ f’(x) = g(x)/x² ou f’ est la fonction dérivée de f
    3/ Montrer que l’équation f(x) =3 admet une unique solution x0 sur l’intervalle [2 ;3]
    A l’aide de la calculatrice donner un encadrement d’amplitude 10 puissance –2 de x0
    4/a/ Calculer les coordonnées du point A, intersection de la courbe C avec la droite D d’équation y= x+1/2
    b/ Montrer que la droite D est asymptote oblique a la courbe C en +00
    c/ Etudier la position de la courbe C par rapport a la droite D
    d/ déterminer une équation de la tangente T a la courbe C au point A

    Pour le moment je n’ai pas trouvé grand chose :

    1/ g’(x) = 2x-1/x = (2x²-1)/x

    Signe de g’(x) : + puis –

    2/ tableau de variation : croissant puis decroissant

    je n’ai pas trouver comment faire pour trouver le signe de g(x) sans calculer ces limittes

    B.1/ les limites sont trouvé quand x tend vers 0 lim f(x)= -00 dc il y’a une asymptote vertical d’équation x=0
    Et quand x tend vers +00 lim f(x)= +00

    C’est la que je commence a coincer grave tout ce qui est ln m’embrouille dans mes calcules en plus je ne comprend plus. enplus je trouve que l’éxercise n’est pas trés bien fait car il porte a confusion merci d’avance pour votre aide.

    PS : merci de me donner si possible les méthodes allant avec chaque réponse car la semaine prochaine j’ai un DS et je ne comprend vraiment rien



  • Pour moi un tableau de variations n'est complet que lorsqu'il indique les limites aux bornes du domaine de définition.

    Donc calcule les limites de g(x) en 0 et +inf/ et tu trouveras que g(x)>0 pour tout x>0

    Pour dériver f tu appliques les formules

    f(x) = x+1/2+lnx/x = h(x) + k(x) donc f'(x) = h'(x) + k'(x)

    avec h(x) = x+(1/2) donc h'(x)= 1

    et k(x) = lnx/x = u(x)/v(x) avec u(x)=lnx donc u'(x)=1/x et v(x)=x donc v'(x)=1

    et k'(x)=[u'(x)v(x)-u(x)v'(x)]/v(x)^2 =[(1/x)x-(lnx)(1)]/x^2 = (1 - lnx) /x^2

    f'(x) = 1 + k'(x) = 1 + (1 - lnx) /x^2

    calculs à vérifier (une erreur de signe peut si vite arriver !)

    Un autre calcul me donnant f'(x) = 1 + (-1 + lnx) /x^2 je ne sais plus quelle est la bonne réponse. A toi de faire les calculs et de décider de la bonne réponse ! (je botte en touche)


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