convexité
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Aaaazzz dernière édition par
bonjour j aurai besoin de votre aide svp
j ai une fonction f convexe et majorée sur R
on suppose qu il existe un a et b dans l intervalle avec
a < b et f(a) diffèrent de f(b)on suppose f(b)>f(a) x> ou egale a a
comparer (f(b)-f(a))/(b-a)
et (f(x)-f(a))/(x-a)et trouver la lim de f(x) en + infinie
merci bcp pour votre aide
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mtschoon dernière édition par
Bonjour,
Peut-être veux-tu démontrer en raisonnant par l'absurde, que f est constante ?
Tu as donc deux cas à envisger : f(b) > f(a) et f(b) < f(a)
$\text{pour f(b) \gt f(a)$
∀x≥b\forall x \ge b∀x≥b , par convexité , vu que a<b≤xa \lt b \le xa<b≤x
f(x)−f(a)x−a≥f(b)−f(a)b−a\frac{f(x)-f(a)}{x-a} \ge \frac{f(b)-f(a)}{b-a}x−af(x)−f(a)≥b−af(b)−f(a)
Donc , après transformation :f(x)≥f(b)−f(a)b−a(x−a)+f(a)f(x) \ge \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a) +f(a)f(x)≥b−af(b)−f(a)(x−a)+f(a)
Lorsque x tend vers +∞ , tu peux déduire que f(x) tend vers +∞ : CONTRADICTION vu que f est majorée.
Il te reste à voir le cas f(b) < f(a) et tu trouveras encore une contradiction , d'où la conclusion :
f constante.