convexité


  • A

    bonjour j aurai besoin de votre aide svp

    j ai une fonction f convexe et majorée sur R

    on suppose qu il existe un a et b dans l intervalle avec
    a < b et f(a) diffèrent de f(b)

    on suppose f(b)>f(a) x> ou egale a a

    comparer (f(b)-f(a))/(b-a)
    et (f(x)-f(a))/(x-a)

    et trouver la lim de f(x) en + infinie

    merci bcp pour votre aide


  • mtschoon

    Bonjour,

    Peut-être veux-tu démontrer en raisonnant par l'absurde, que f est constante ?

    Tu as donc deux cas à envisger : f(b) > f(a) et f(b) < f(a)

    $\text{pour f(b) \gt f(a)$

    ∀x≥b\forall x \ge bxb , par convexité , vu que a<b≤xa \lt b \le xa<bx

    f(x)−f(a)x−a≥f(b)−f(a)b−a\frac{f(x)-f(a)}{x-a} \ge \frac{f(b)-f(a)}{b-a}xaf(x)f(a)baf(b)f(a)

    Donc , après transformation :f(x)≥f(b)−f(a)b−a(x−a)+f(a)f(x) \ge \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a) +f(a)f(x)baf(b)f(a)(xa)+f(a)

    Lorsque x tend vers +∞ , tu peux déduire que f(x) tend vers +∞ : CONTRADICTION vu que f est majorée.

    Il te reste à voir le cas f(b) < f(a) et tu trouveras encore une contradiction , d'où la conclusion :

    f constante.


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