Calcul d'intégrales par changement de variable / par primitivation immédiate

[mistermine]

Bonjour à tous,

je dois rendre un devoir sur les primitives. J'ai 3 énoncés mais je bug grave! Si quelqu'un pourrait m'aider, ce serait juste super! Voici les énoncés:

1)∫ln x/x² par changement de variable: en posant ln x = t

2. ∫1/((1+x).√x) par changement de variable (il faut trouver la variable)

3. ∫$si{n}^4$x par primitivation immédiate

Merci d'avance

[mtschoon]

Bonjour,

Bizarre ces questions en TS ( elles ne sont pas au programme du Bac S Français...elles sont au programme de Bac+1)

Quelques pistes,

1. lnx=t donc $x=e^t$

$\frac{1}{x}dx=dt$

Tu te ramènes donc , après calculs à $\int t{e}^{-t}dt$

Par intégration par parties , tu dois trouver $(-t-1)e^{-t}$

En revenant à x : $(-lnx-1)\frac{1}{x}$

2. Pose √x=t

3. Passe par les exponentielles ( linéarise ) $si{n}^4$x avant d'intégrer .

[mistermine]

Bonjour,

merci de ta réponse!

Je vis en Belgique, je ss actuellement en TS (6eme secondaire), j'ai un prof de math assez puissant si tu veux savoir

1. j'ai pas trop compris comment faire! On a pas vraiment les memes méthodes :(. Si tu pourrais m'éclairer un peu plus

2. je vais tester ca de suite

3. Je ne vois ce que tu veux dire par linéariser! (bcps de diff entre belgique et france )

[mtschoon]

Merci pour l'explication sur tes études en Belgique , Je comprends mieux .
Evidemment , un forum belge irait peut-être mieux.

Je mettrai ton topic dans la rubrique "supérieur" vu que tes questions corespondent en France à Bac + 1

Je veux bien te détailler la méthode utilisée pour la première , mais peut-être quelle ne te conviendra pas si tu n'as pas la même .

$lnx=t$
En prenant la différentielle de chaque membre :$\frac{1}{x}dx=dt$

$\int \frac{lnx}{x^2}dx=\int (\frac{lnx}{x})\frac{1}{x}dx$

lnx=t <= > $x=e^t$

L'intégrale s'écrit donc $\int \frac{t}{e^t}dt=\int t{e}^{-t}dt$

Tu termines le calcul par une intégration par parties ( tu dois connaître )

[mistermine]

Alors voilà, j'ai essayé de faire les exercices et voilà ce que j'ai :

1. lnx/x2= te-t
   = (-t-1)e-t

2. 1/(1+x).√x comme il faut trouver la variable, j'ai poser x = t

donc j'obtiens : 1/(1+t²).t et hop, la je bug mais cela me fait penser que ca ressemble à la formule de la dérivée de arc tg x (fin t). Y a t-il un lien???

3. sin4x = sin²x . sin²x
   = 1/2 ( 1 - cos2x ) . 1/2 ( 1 - cos2x )
   = 1/4 ( 1 - 2.cos2x + cos²2x )
   = 1/4 ( 1 - 2.cos2x + 1/2 + 1/2 cos4x ) en utilisant : cos²x = 1/2 (1 + cos2x)
   . . .
   = 1/8 (cos4x - 4 cos2x + 3 )

Une primitive de sin4x est donc :

= 1/8 (1/4 sin4x - 4 . 1/2 sin2x + 3x )
= 1/32 ( sin4x - 8 sin2x + 12x )

Est ce que c'est bon????

Merci d'avance

[mtschoon]

1. quand tu as $(-t-1)e^{-t}$ , tu n'a pas fini . Il faut calculer la primitive par intégration par parties

Pour le 2) t=x ne sert à rien...tu ne fais qu'un changement de notation.

je te l'ai déjà indiqué : prends √x=t

3. c'est bon.

[mistermine]

euh excuse moi, j'ai bien fait ce que tu m'as dit, j'ai remplacé √x=t.
Donc j'obtiens: 1/(1+t²).t
Je ne sais plus quoi faire après. Cela me fait rappeller la dérivée de Arc tgx. Y a t-il un lien?

Pour le 1), j'ai essayé de faire l'intégration par partie mais je bloque ici:

u= t u'=1
v'= 1/et mais je ne trouve pas cmb vaut v= ?

[mtschoon]

1. Pour ton IPP

v'$=e^{-t}$ tu peux prendre $v=-e^{-t}$

2. oui , il y a un lien avec Arctan

[mistermine]

ah ok je teste ça de suite!

pour le 2), j'ai trouvé le lien : = 2. arc tg t

Le problème est que comment faire pour repasser en x???

[mtschoon]

2. la fin est immédiate : tu remplaces t par √x

[mistermine]

Ok merci de ton aide!

[mistermine]

Ah excuse moi, encore une derniere chose,

pour le 2), je devais le faire avec 2 méthode: celle du changement de variable et la primitivation immédiate.

Je bug à le faire avec la primitivation immédiate!

[mtschoon]

Tu décomposes pour reconnaître directement une pro=imitive usuelle.

$\frac{1}{(1+x)\sqrt{x}}=\frac{1}{1+(\sqrt{x}{)}^2}\times \frac{1}{2\sqrt{x}}\times 2$

de la forme $2\frac{1}{1+u^2}{u}^{\prime }$ donc ............