Démontrer une égalité par récurrence
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Mmathluve dernière édition par Hind
merci beaucoup, mais pourrais tu détaillais un peu plus la récurence car j'ai un peu de mal , j'essaye mais je bloque vraiment à l'initialisation et à l'hérédité. je sais que je demande un peu trop mais j'aimerai réussire cette exo ! merci d'avance
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mtschoon dernière édition par
Bonjour,
la récurrence va très bien.
Tu supposes à l'ordre n et tu en déduis l'ordre (n+1)
tu obtiens fn+1f^{n+1}fn+1 en dérivant fnf^nfn
fn+1(x)=(−1)n×n!×−1(xn+1)2×(n+1)xnf^{n+1}(x)=(-1)^n\times n! \times \frac{-1}{(x^{n+1})^2}\times (n+1)x^nfn+1(x)=(−1)n×n!×(xn+1)2−1×(n+1)xn
En simplifiant , tu obtiens :
$f^{n+1}(x)=(-1)^{n+1}\times (n+1)! \times \frac{1}{(x^{n+2})$
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Mmathluve dernière édition par
Bonjour à tous et merci de préter attention à mon message.
Voilà j'ai l'exercice suivant à résoudre , je pense qu'il faut le faire par récurence, enfin je n'en suis pas sure, mais aprés avoir passer l'aprem dessus, je ne pense pas à autre chose... je vous demande votre aide , car je n'arrive vraiment pas à résoudre cet exo .Soit $f : r* -> r$
$x -> 1/x$Montrer que f est de classe C ∞^∞∞ sur R* et que pour tout n ∈ N :
∀x∈r∗,f(n)=(−1)n∗n!∗1xn+1\forall x \in r*, f^{(n)} = (-1)^{n} * n! * \frac{1}{x^{n+1}}∀x∈r∗,f(n)=(−1)n∗n!∗xn+11
Merci d'avance !
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mtschoon dernière édition par
Bonjour,
Bizarre :! Tu as supprimé les formules dans ton premier message pour les remettre ensuite ? ? ? Ce n'est pas logique !
Je te détaille un peu la démarche ,
Initialisation pour n=0
f(0)(x)=f(x)=1xf^{(0)}(x)=f(x)=\frac{1}{x}f(0)(x)=f(x)=x1
f(x) peut s'écrire :
$\frac{1}{x}=(-1)^0.0!\frac{1}{x^{0+1}$
La propriété est donc vrai à l'ordre 0
Hérédité
Tu supposes la propriété vraie à un ordre n ( n ≥ 0)
Il faut que tu démontres que cette propriété esr vraie à l'ordre (n+1)
Comme je te l'ai indiqué précédemment , tu pars de
f(n)(x)=(−1)n.n!1xn+1f^{(n)}(x)=(-1)^n.n!\frac{1}{x^{n+1}}f(n)(x)=(−1)n.n!xn+11
Tu dérives ( par rapport à x , bien sûr )( comme en première ) pour obtenir fn+1f^{n+1}fn+1(x)
Tu obtiens :
fn+1(x)=(−1)n.(n)!−(n+1)xn(xn+1)2f^{n+1}(x)=(-1)^{n}.(n)!\frac{-(n+1)x^n}{(x^{n+1})^2}fn+1(x)=(−1)n.(n)!(xn+1)2−(n+1)xn
Tu transformes , sachant que :
(−1)n(−1)=(−1)n+1(-1)^n(-1)=(-1)^{n+1}(−1)n(−1)=(−1)n+1
(n!)(n+1)=(n+1)!(n!)(n+1)=(n+1)!(n!)(n+1)=(n+1)!
$\frac{x^n}{x^{(n+1)2}}=\frac{x^n}{x^{2n+2}}=\frac{1}{x^{2n+2-n}}=\frac{1}{x^{n+2}$
Tu obtiens ainsi l'écriture souhaitée :
fn+1(x)=(−1)n+1.(n+1)!1xn+2f^{n+1}(x)=(-1)^{n+1}.(n+1)!\frac{1}{x^{n+2}}fn+1(x)=(−1)n+1.(n+1)!xn+21
CQFD