dérivée et limite

[orlandopiaf]

A. Soit f :x -> $\sqrt[3]{8+x}-\sqrt[3]{8-x}$

Donner son ensemble de définition puis écrire son developpement limité à l'odre 1 en 0 et en déduire un équivalent de f en 0.

B. Soit $\lambda$ un réel strictement positif . Quelle est la dérivée de g : x -> ${\lambda }^x$

C. en déduire un équivalent en 0 de h : x -> $8^x-4^x$

D. déterminer ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sqrt[3]{8+x}-\sqrt[3]{8-x}}{8^x-4^x}$

[mtschoon]

Bonjour,

Quelques indications,

S'il s'agit bien de racine cubique , l'ensemble de définition esr R

(S'il s'agit de puissance 1/3 , l'ensemble de définition est ]-8,8[)

A) $f(x)=(8+x{)}^{\frac{1}{3}}-(8-x{)}^{\frac{1}{3}}$

$f^{\prime }(x)=\frac{1}{3}(8+x{)}^{-\frac{2}{3}}+\frac{1}{3}(8-x{)}^{-\frac{2}{3}}$

$f(0)=0$
$f^{\prime }(0)=\frac{1}{6}$

En appliquant ton cours : Réponse $\fbox{\frac{1}{6}x}$

B) Tu écris${\lambda }^x=e^{xln\lambda }$ et tu dérives

C)$g(x)=8^x-4^x$

$g^{\prime }(x)=(ln8).8^x-(ln4).4^x$

$g(0)=0$

$g^{\prime }(0)=ln8-ln4=ln2$

En appliquant ton cours : Réponse $\boxed{\left(ln2\right)x}$

D) Tu utilises les 2 réponses peécédentes.

[Ostap_Bender]

Bonsoir orlandopiaf.

Pour le A) on peut parfaitement rester dans le cadre des développements limités, c'est-à-dire ne pas dériver de fonction.

En effet
$\sqrt[3]{8+x}=2{\left(1+\frac{x}{8}\right)}^{\frac{1}{3}}=2\left(1+\frac{1}{3}\times \frac{x}{8}\right)+x\epsilon (x)$.
Ainsi
$\sqrt[3]{8+x}-\sqrt[3]{8-x}=2\left(1+\frac{1}{3}\times \frac{x}{8}-1-\frac{1}{3}\times \frac{x}{8}\right)+x\epsilon (x)=\frac{x}{6}+x\epsilon (x)$.

amicalement,