Assertions équivalentes

Bonjour,

Soit g : E -> E telle que g o g = g
C'est facile à comprendre que g est injective, surjective et que g est égale à l'identité.
Mais comment démontrer que ces assertions sont équivalentes ?

Merci d'avance.

Bonjour,

g o g = g traduit le fait que g est idempotente.

La question est floue...

Quelques idées , à tout hasard ,

g o g = g et g injective => g = Id ( regarde la réciproque )

g o g = g et g surjective = > g = Id ( regarde la réciproque )

Evidemment , il existe des applications ni injectives ni sujectives qui sont indempotentes
Exemple dan R : g(x)=|x|

Je n'est pas vu la notion d'idempotente.
Si j'ai bien compris, il faut que je démontrer que g est injective ce qui implique que g est égal à l'identité. Et que g est surjective, ce qui implique que g est aussi égal à l'identité ?

Je vais te redire ce que je t'ai déjà dit.

Si tu as seulement g o g =g ( le terme n'a pas d'importance ) , g n'est pas forcément injective ou surjective : regarde l'exemple que je t'ai donné.

Si g o g = g et si g injective , alors tu peux démontrer que g=Id

Si g o g = g et si g surjective , alors tu peux démontrer queg=Id

Si g o g = g et si g n'est ni injective , ni surjective , il n'y a pas de conclusion .

Ok, en faite j'ai g : E -> E / g o g = g
Je dois montrer que les assertions suivantes sont équivalentes:

g = Identité
g est injective
g est surjective

Et bien , ça va.

L'hypothèse générale est g o g = g

Avec cette hypothèse , tu dois démontrer que :

g injective < = > g = Id

g surjective <=> g = Id

Les parties " < = " sont "évidentes"

Il faut donc que tu démontres que :

g injective = > g = Id et g surjective = > g =Id

J'ai réussi a démontrer que g est injective, et qu'elle est surjective. Par contre pour montrer qu'elle est équivalente à l'identité, je sais pas.

Désolée , je ne comprends pas ce que tu as pu démontrer...peut-être que tu n'a pas donné tout ton énoncé...? ?

Si tu n'as que g o g = g, tu ne peux pas démontrer que g est injective et surjective , car ne n'est pas toujours vrai.

Alors , explique ...

Tout l'énoncé est là.

J'ai supposé g o g injective et j'ai montré que g était injective. De même pour la surjectivité.

D'accord.

Avec l'hypothèse g o g = g , je te démontre que si g est surjective , alors g =Id ( donne les explications à chaque ligne )

g surjective donc :

$\text{\forall y \in e \exists x \in e , y=g(x)$

donc ,

$\text{\forall y \in e \exists x \in e , g(y)=g o g(x)$

donc

$\text{\forall y \in e \exists x \in e , g(y)=g (x)$

donc

$\text{\forall y \in e , g(y)=y$

donc

$\text{g = id$

Tu justifies que réciproquement , si g = Id , alors g est surjective .

D'où la conclusion générale :

g surjective < = > g =Id

Si tu as démontré que g injective < = > g surjective , tu as donc tout ce qu'il te faut :

g injective < = > g surjective <=> g = Id

Merci beaucoup de votre aide, même si tout ça reste flou pour moi.

Si ce sont les détails de la démonstration que je t'ai proposée qui te posent problème , je te détaille plus .

La première ligne écrite en Latex est la traduction de "g surjective"

La seconde ligne écrite en Latex s'obtient en prenant l'image par g de chaque membre de y=g(x)

La troisième ligne écrite en Latex s'obtient en remplaçant g o g par g

La quatrième ligne écrite en Latex s'obtient en remplaçant g(x) par y

On obtient ainsi g(y) = y donc g=Id

Bon courage !

Merci pour le détail, je comprend mieux.

J'espère que tu as justifié la réciproque : g=Id = > g surjective

C'est quasiment évident , mais il faut le faire .

Par exemple , tu peux dire :

g=Id donc :

$\text{\forall y \in e g(y)=y$

Donc tout élément y de E a un antécédent y dans E

Donc g surjective

Oui j'ai justifié.
Merci beaucoup !