Equation à resoudre dans R : 2^(1/x) = 2^x

Bonjour,

Je dois résoudre dans R l'équation $2^{1/X}$ = $2^x$

J'ai essayé plusieurs pistes dont l’idée principale était de me débarrasser de la puissance 1/x. Pour le moment, ces pistes m'ont mené dans le fossé…

1er piste - utilisation de la propriété algébrique $a$ ^m $/ a$ ^n $a^{m-n}$ :

$2^{1/X}$ = $2^x$ => $2^{1/X}$ / $2^x$ = 1 => $2^{(1/x)-x}$ =1 => $2^{(1-x²)/x}$ =1
Résultat : je suis bloqué

2eme piste - utilisation de la propriété algébrique $a^{1/n}$ = $^n$ √a :

$2^{1/x}$ = $2^x$ => $^x$ √2 $2^x$
Résultat : je ne sais quoi faire

3eme piste - utilisation de la propriété algébrique $a^n$ x $a^{-n}$ = $a^{n+(-n) }$ = $a^0$

$2^{1/X}$ = $2^x$ => $2^{1/x}$ x $2^{-1/x}$ = $2^x$ x $2^{-1/x }$ => $2^{(x²-1)/x}$
Résultat : Je me retrouve dans la même situation que la piste 1……fossé

Bref pour le moment je n’ai pas trouvé de solution et surtout d’idée pour explorer une autre manière de faire. J’ai tenté de rapporter l’équation initiale à une équation du second degrés mais sans succès.

Quelqu’un pourrait-il svp me donner une piste qui contourne le fossé ?
Merci.

Bonjour,
Utilise la proriété $a^x$ = e $^{x ln(a)}$

Sinon, Reprens par exemple $2^{(1-x²)/x}$ =1. A quelle condition a-t-on $2^u$ = 1 ?

Bonjour mathtous et bonjour olea .

Bizarre cette question en 1ES ...

olea , ne t'es tu pas trompé(e) de rubrique ?

fonction exponentielle ( voire logarithme ) en Première ? ? ? pas possible .

En terminale , tu dirais tout simplement : pour x ≠ 0

$21x=2x⇔1x=x⇔x2=1⇔.......2^{\frac{1}{x}}=2^x \Leftrightarrow \frac{1}{x}=x \Leftrightarrow x^2=1 \Leftrightarrow .......$

Bonjour Mtschoon.
En effet, je n'avais pas fait attention au niveau lorsque j'ai mentionné les exponentielles.
Nez en moins, on peut toujours chercher x de manière que $2^{... }$ = 1

Rebonjour Mathtous .

Quoi que nous fassions , traîter une question relative à une fonction exponentielle en base 2 en 1ES me laisse perplexe.( en Première , on ne connait pas les exposants prenant tout valeur réelle) ; c'est bien préciser "résoudre dans R " ?...

Peut-être que olea est en TES ...il ( ou elle ) nous dira , j'espère .

Tu veux dire qu'en première elle n'a pas le droit d'utiliser les "généralisations" des formules sur les puissances ?
Dans ce cas, en effet, je ne vois pas comment faire autrement;

Bonjour,

Merci pour vos réponses. Je n'ai pas la certitude d'avoir placer le message au bonne endroit. Je vous prie de m'en excuser.

Je travaille une épreuve de mathématique mais le niveau n'est pas précisé (hormis niveau Bac....).

J'ai essayé de recouper quelques informations pour déterminer l'endroit où placer le message....

Pouvez-vous m'indiquer la bonne rubrique svp ? Je tenterai de le changer de place par la suite.

Merci

Il s'agit donc d'un niveau "terminale".
Dans ce cas, les réponses indiquées par Mtschoon ou moi-même peuvent te conduire à la réponse.

mathtous
Bonjour,
Utilise la proriété $a^x$ = e $^{x ln(a)}$

Sinon, Reprens par exemple $2^{(1-x²)/x}$ =1. A quelle condition a-t-on $2^u$ = 1 ?

Cela n'est pas terminé : |x| = 1 : pour quelles valeurs de x ?

mathtous
Cela n'est pas terminé : |x| = 1 : pour quelles valeurs de x ?

Je ne sais pas si ma réponse est pertinente mais j'imagine :

x=1 et x=-1

Le plus simple est effectivement de dire x²=1 <=> x=1 ou x=-1

Vu qu'il s'agit de "niveau Bac" ( sans précision de Série ) , si Mathtous est d'accord , ta question sera mieux placée en TES .

A Mtschoon : bien sûr.

A Olea : regarde : Mtschoon procède par équivalences et pas par simples implications.
De plus, n'oublie pas que x doit être différent de 0.
Pense à cela quand tu rédigeras.

mathtous
A Mtschoon : bien sûr.

A Olea : regarde : Mtschoon procède par équivalences et pas par simples implications.
De plus, n'oublie pas que x doit être différent de 0.
Pense à cela quand tu rédigeras.

D'accord, merci beaucoup pour votre aide.
Bonne journée

De rien.
Bon courage.

(olea est en TES ...)

Equation à resoudre dans R : 2^(1/x) = 2^x

1er piste - utilisation de la propriété algébrique aaa^m/a/a/a^n=am−n=a^{m-n}=am−n :

2eme piste - utilisation de la propriété algébrique a1/na^{1/n}a1/n = n^nn√a :

3eme piste - utilisation de la propriété algébrique ana^nan x a−na^{-n}a−n = an+(−n)a^{n+(-n) }an+(−n)= a0a^0a0

1er piste - utilisation de la propriété algébrique $a$ ^m $/ a$ ^n $a^{m-n}$ :

2eme piste - utilisation de la propriété algébrique $a^{1/n}$ = $^n$ √a :

3eme piste - utilisation de la propriété algébrique $a^n$ x $a^{-n}$ = $a^{n+(-n) }$ = $a^0$