Denombrement - Election des délégués de classe

Bonsoir,

J'ai un exercice que je n'arrive pas à finir/cerner.

Je vais faire une synthèse de l’énoncé. Une classe de 24 élèves doit élire deux délégué de classe. Il n'y a que deux candidats : Rose et Nicolas. Un candidat est élu à la majorité absolue. Tous les élèves doivent voter pour l'un ou pour l'autre. Il y a 24-uplets correspondant aux 24 élèves. Le résultat (N,R,R,N,N,.......N,R) signifie que le $1^{er}$ élève a voté pour Nicolas, le $2^{eme}$ pour Rose, et ainsi de suite. Il y a trois questions.

Déterminer le nombre de résultats possibles ?

Là je pense avoir compris et je pense avoir la bonne réponse : $2^{24}$ résultats (cas de la p-liste).

Déterminer le nombre de résultats pour qu'il y ait ballotage ?

Là j'ai déjà plus de soucis. Je n'ai pas réussi à trouver la logique. Je pense avoir le bon résultat. Mais la méthode est plutôt archaïque. J'ai réduis le nombre d'élèves dans la classe à 4 et j'ai fait toutes les possibilités (tableau ci dessous) et j'en ai "déduis" la formule.

Le tableau correspond à ceci :
R =Rose; N=Nicolas; les 4 premières colonnes correspondent aux votes des élèves (1 élève par colonne).

RRRR soit 4R 0N => résultat en faveur de Rose
RRRN soit 3R 1N => résultat en faveur de Rose
RRNR soit 3R 1N => résultat en faveur de Rose
RRNN soit 2R 2N => Ballotage
RNRR soit 3R 1N => résultat en faveur de Rose
RNRN soit 2R 2N => Ballotage
RNNR soit 2R 2N => Ballotage
RNNN soit 1R 3N => résultat en faveur de Nicolas
NRRR soit 3R 1N => résultat en faveur de Rose
NRRN soit 2R 2N => Ballotage
NRNR soit 2R 2N => Ballotage
NRNN soit 1R 3N => résultat en faveur de Nicolas
NNRR soit 2R 2N => Ballotage
NNRN soit 1R 3N => résultat en faveur de Nicolas
NNNR soit 1R 3N => résultat en faveur de Nicolas
NNNN soit 0R 4N => résultat en faveur de Nicolas

Soit 5 résultats pour Nicolas, 5 résultats pour Rose et 6 résultats de ballotage

En connaissant le nombre de résultat de ballotage, puis en prenant en compte qu'il s'agit d'une combinatoire => n! / p!(n-p)! et enfin en partant du principe que le ballotage (dans ce contexte) correspond à la moitié des votes 4/2=2 d'ou p=2 j'ai :

r= 4!/2!(4-2)! = 6

Pour répondre à la question je "transpose" le raisonnement d'ou p=12 soit

R = 24!/12!(24-12)! = 2704156.

Je pense que le résultat est bon. Mais mon problème c'est que sans passer par le tableau je ne comprends pas comment faire, pourquoi dois-je faire ça plutôt que de divisé le nombre de résultat trouvé à la première question $2^{24}$ par 2 soit 8388608 résultats. Quelqu'un peux-t-il m'aider à comprendre le raisonnement

Déterminer le nombre de résultats pour que Rose soit élue, pour que Nicolas soit élu ?

Là malgré les résultat que j'ai obtenu dans mon tableau je n'arrive pas à faire quelque chose. Je connais le nombre de résultat, c'est a dire 5. Mais je ne trouve pas la formule qui me mène à ce résultat. Et par conséquent je ne peux "transposer" avec les véritables valeurs.

Quelqu'un peux-t-il me donner une piste ?

Merci.

Ps: Je vous prie de m'excuser après relecture, je viens de m’apercevoir me suis trompé de rubrique

Bonjour,

De façon générale , je te conseille de faire un arbre de choix au lieu d'un tableau ( mais le résultat est le même )

Je pense qu'àla première question , tu as voulu répondre $2^{24}$

Pour la seconde question pour raisonner , tu peux , peut-être , faire un axe où tu marques 24 points , chaque point correspondant au vote d'un élève.

Il y a ballotage , s'il y a 12 votes pour Rose "R" et 12 votes pour Nicolas "N"

Le nombre de façons de choisir 12 points "R" parmi 24 est $(2412)=2704156{{24}\choose{12}}=2704156$

Lorsque les 12 points "R" sont choisis , il reste 12 points pour les "N" : $(1212)=1{{12}\choose{12}}= 1$

Réponse : $(2412)×(1212)=2704156{{24}\choose{12}}\times {{12}\choose{12}}=2704156$

Bonjour,

Merci pour votre réponse.

Si je comprends bien votre réponse, pour la question 3 le résultat devrait être :

Pour que "R" remporte l'election les 13 points "R" sont choisis , il reste 11 points pour les "N", donc le résultat est : $(2413)=2496144{{24}\choose{13}}= 2496144$

J'imagine que le calcul est identique pour "N" soit : $(2413)=2496144{{24}\choose{13}}= 2496144$

Mais je pense que mon calcul n'est pas bon car si je vérifie le résultat à l'aide de la question 1 et 2 cela ne parait pas coller. En effet,

nombre de résultat : $2^{24}$ soit 16777216
nombre de résultat ballotage : 2704156
nombre de résultat pour chaque élu : 2496144

si je vérifie 2704156 + (2496144 * 2) n'est pas égale à $2^{24}$

Tu as oublié des cas , mais si tu veux faire tous les calculs , c'est très long !

"R" l'emporte s'il y a 13 points "R" et 11 points "N" , ou bien 14 points "R" et 10 points "N" , ou bien 15 points "R" et 9 points "N" etc etc
Il faudrait dénombrer tous les cas et faire la somme .

Même démarche pour "N"

Passe par la démarche contraire : nombre de résultats possibles - nombre de ballotages

Tu obtiens ainsi le nombre de résultats pour que l'un des deux soit élu.

[ Si tu veux séparer les deux cas ( Rose élue ou Nicolas élu ) , tu divises par 2 ]

Bonsoir,

En effet, je viens de comprendre la démarche suite à votre remarque ("R" l'emporte s'il y a 13 points "R" et 11 points "N" , ou bien 14 points "R" et 10 points "N" , ou bien 15 points "R" et 9 points "N" etc etc. Il faudrait dénombrer tous les cas et faire la somme .)

Merci beaucoup pour le conseil d'utiliser la démarche inverse. Afin de clôturer ce message et pour répondre à la question 3 :

nombre de résultats possibles - nombre de ballotages soit $2^{24}$ -
2704156
Merci pour votre aide
Bonne soirée

Oui , c'est bien ça.

Par contre , le français n'étant pas toujours très clair , je ne sais pas ce qu'il faut comprendre par la question "Déterminer le nombre de résultats pour que Rose soit élue, pour que Nicolas soit élu ?"

Faut-il une réponse glogale ( pour que un des deux soit élu ) ou des réponses séparées ( la moitié pour que Rose soit élue ; la moitié pour que Nicolas soit élu ) .

A toi de décider le sens de la phrase...et bonne soirée.

olea , Mathtous vient de me signaler que tu as confondu 2704156 avec 2496144 dans ta conclusion . Merci Mathtous .

Je viens de te rectifier en
rouge