Matrices symétriques et antisymétriques

Bonsoir,
Voila l'exercice:
S est l'ensemble des matrices symétrique de M(n,R) et A l'ensemble des matrices anti-symétriques de M(n,R).
S et A sont supplémentaires dans M(n,R).
Question : On prend n=3.
Trouver une base de S et une base de A.

Merci d'avance !

Bonjour,

Quelques pistes ( superficielles )

Si j'ai bien lu , n=3

Toute matrice symétrique M de S s'écrit :

$m=\left(a \ b \ c\b \ d \ e \c \ e \ f \right)$

Toute matrice M de S est caractérisée par 6 réels . S est de dimension 6
Tu décomposes M avec la base canonique :

$m=a\left(1 \ 0 \ 0\0 \ 0 \ 0 \0 \ 0 \ 0 \right)+b\left(0 \ 1 \ 0 \ 0 \ 0 \ 0\0 \ 0 \ 0\right)+... tu continues$

Tu obtiens ainsi une base de S

Toute matrice N de As'écrit :

$\text{n=\left( 0 \ \ \ a \ \ b \-a \ \ 0 \ \ c \-b \ -c \ 0 \right)$

Toute matrice N de A est caractérisée par 3 réels . A est de dimension 3
Tu décomposes N :
$\text{n=a\left( 0 \ \ 1 \ 0 \-1 \ \ 0 \ 0 \ 0 \ 0 \ 0 \right)+b\left( 0 \ 0 \ 1 \ 0 \ 0 \ 0\-1 \ 0 \ 0\right)+c\left( 0 \ 0 \ 0 \ 0 \ 0 \ 1\ 0 \ -1 \ 0\right)$

Tu obtiens ainsi une base de A

Merci beaucoup j'étais partie sur ça mais je crois que je cherchais trop compliqué !
Je dois ensuite généraliser pour tout n entier naturel non nul ...

Quelques idées,

Pour n=3 , si tu raisonnes en lignes par exemple , le nombre de réels qui caractérisent une matrice M de S est $3 + 2 + 1 = 6$

Pour n quelconque , le nombre de réels qui caractérisent une matrice M de S est
$n+(n−1)+(n−2)+...+2+1=n(n+1)2=n2+n2n+(n-1)+(n-2)+...+2+1=\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n^2+n}{2}$

S est donc de dimension (n²+n)/2

Une base de S sera donc composée de (n²+n)/2 matrices

Comme S et A sont supplémentaires , la dimension de A sera $n2−n2+n2=n2−n2n^2-\frac{n^2+n}{2}=\frac{n^2-n}{2}$

Une base de A sera donc composée de (n²-n)/2 matrices

Bon travail.