Matrices symétriques et antisymétriques


  • C

    Bonsoir,
    Voila l'exercice:
    S est l'ensemble des matrices symétrique de M(n,R) et A l'ensemble des matrices anti-symétriques de M(n,R).
    S et A sont supplémentaires dans M(n,R).
    Question : On prend n=3.
    Trouver une base de S et une base de A.

    Merci d'avance !


  • mtschoon

    Bonjour,

    Quelques pistes ( superficielles )

    Si j'ai bien lu , n=3

    Toute matrice symétrique M de S s'écrit :

    $m=\left(a \ b \ c\b \ d \ e \c \ e \ f \right)$

    Toute matrice M de S est caractérisée par 6 réels . S est de dimension 6
    Tu décomposes M avec la base canonique :

    $m=a\left(1 \ 0 \ 0\0 \ 0 \ 0 \0 \ 0 \ 0 \right)+b\left(0 \ 1 \ 0 \ 0 \ 0 \ 0\0 \ 0 \ 0\right)+... tu continues$

    Tu obtiens ainsi une base de S

    Toute matrice N de As'écrit :

    $\text{n=\left( 0 \ \ \ a \ \ b \-a \ \ 0 \ \ c \-b \ -c \ 0 \right)$

    Toute matrice N de A est caractérisée par 3 réels . A est de dimension 3
    Tu décomposes N :
    $\text{n=a\left( 0 \ \ 1 \ 0 \-1 \ \ 0 \ 0 \ 0 \ 0 \ 0 \right)+b\left( 0 \ 0 \ 1 \ 0 \ 0 \ 0\-1 \ 0 \ 0\right)+c\left( 0 \ 0 \ 0 \ 0 \ 0 \ 1\ 0 \ -1 \ 0\right)$

    Tu obtiens ainsi une base de A


  • C

    Merci beaucoup j'étais partie sur ça mais je crois que je cherchais trop compliqué !
    Je dois ensuite généraliser pour tout n entier naturel non nul ...


  • mtschoon

    Quelques idées,

    Pour n=3 , si tu raisonnes en lignes par exemple , le nombre de réels qui caractérisent une matrice M de S est 3+2+1=63+2+1=63+2+1=6

    Pour n quelconque , le nombre de réels qui caractérisent une matrice M de S est
    n+(n−1)+(n−2)+...+2+1=n(n+1)2=n2+n2n+(n-1)+(n-2)+...+2+1=\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n^2+n}{2}n+(n1)+(n2)+...+2+1=2n(n+1)=2n2+n

    S est donc de dimension (n²+n)/2

    Une base de S sera donc composée de (n²+n)/2 matrices

    Comme S et A sont supplémentaires , la dimension de A sera n2−n2+n2=n2−n2n^2-\frac{n^2+n}{2}=\frac{n^2-n}{2}n22n2+n=2n2n

    Une base de A sera donc composée de (n²-n)/2 matrices

    Bon travail.


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