Noyau , image d'une application linéaire.
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Cclaire33 dernière édition par
Soit f l'application définie par f : M(n,R) -> M(n,R) avec f(M)=M+Mtf(M)=M+M^tf(M)=M+Mt
S est l'ensemble des matrices symétriques et A l'ensemble des matrices antisymétriques
J'ai déjà montrer que f est un application linéaire et j'ai trouvé le noyau Kerf=A mais je n'arrive pas à trouver Imf qui est censé être égal à S ...
Si vous pouvez m'aider, merci d'avance !
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mtschoon dernière édition par
BONJOUR ! ( un petit bonjour fait plaisir...)
Piste,
Théorème : dim Kerf +dim Imf = n² donc dim A + dim Imf = n²
Tu connais dim A ( voir ma dernière réponse dans ton topic précédent )
Tu en déduis que $\text{ dim imf = n^2-\frac{n^2-n}{2}=\frac{n^2+n}{2}$
Donc :$\text{dim imf= dim s$
Il te reste à justifier simplement que $\text{imf est incluse dans s$
Comme ces 2 sous espaces vectoriels ont même dimension , ils sont nécessairement égaux .
Bon travail.
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Cclaire33 dernière édition par
Bonjour,
Merci pour cette piste, j'ai réussi à continuer les exercices mais je suis à nouveau bloqué
On est maintenant dans le cas n=2.
Je viens d'écrire la matrice A de f relativement à la base canonique de M(2,R) et on me demande ensuite de calculer le rang de la matrice A ce que je n'arrive pas à faire ...
Je dois ensuite en déduire Imf, Kerf et conclure.Merci d'avance
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mtschoon dernière édition par
Le rang de A est le rang du système des vecteurs-colonnes de A
Tu dois avoir une méthode pratique pour déterminer le rang des vecteurs colonnes de A , en faisant des transformations sur la matrice .Tu peux aussi utiliser les déterminants (le rang de A est l'ordre du déterminant non nul d'ordre le plus élévé , extrait de A ) .
Tout dépend de ce que dit ton cours.
Si tu n'y arrives pas , donne nous la matrice A et la méthode que tu dois utiliser ; nous t'aiderons .